核函式一般有如下函式
高斯函式 ϕ(
u)=e
−u2δ
2 反射sigmoid函式 ϕ(
u)=1
1+eu
2δ2
逆多二次函式 ϕ(
u)=1
(u2+
δ2)1
2 其中，δ
>
0 為基函式的拓展常數或寬度。
rbf（徑向基函式神經網路）網路結構圖如下
對於輸入x=
(x1,
x2,⋯
,xn)
t ，c1
,c2,
⋯,cm
為樣本中心，w=
(w1,
w2,⋯
,wm×
h)為輸出權重。則其第yi
個輸出為 yi
=∑i=
1hwi
jϕ(|
|x−c
i||)
,1≤j
≤m內插問題
假設有n
個訓練資料，輸入為xi
,1≤i
≤n，輸出為yi
,1≤i
≤n，則問題為求函式
f ，使y=
f(x)
。 訓練：
做插值問題時，可將
n 個訓練資料作為樣本中心，則問題只需要求w=
(w1,
w2,⋯
,wn)
。 假設當輸入為xi
,i=1
,2,⋯
,n，則第
j 個輸出為 hi
j=ϕj
(||x
i−cj
||)其中，ϕj
為該隱含層節點的啟用函式，cj
=xj 為隱含層樣本中心，用
h 表示[h
ij] ，則rbf網路輸出為 yi
=f(x
i)=∑
j=1n
hijw
j=∑j
=1nϕ
j(||
xi−c
j||)
令yi=f(
xi) ，y=
tt=(
y1,y
2,⋯,
yn)t
,w=(w1,
w2,⋯
,wn)
t ，則有 y=
hw一般情況下，使用
n 個樣本進行訓練，此時w也為
n 元，此時
h可逆，則可以求解
w w=
h−1y
存在問題： 容易出現過擬合假定s
= 為訓練資料，若通過均方誤差最小化目標函式，其目標函式為 es
(f)=
12∑i
=1n(
yi−f
(xi)
)2新增正則化項， er
(f)=
12||
df||
2 則新增了正則化項的誤差函式為 e(
f)=e
s(f)
+λer
(f)
通過求解上述誤差函式的最小值，即
mine(f
)=es
(f)+
λer(
f)=1
2∑i=
1n(y
i−f(
xi))
2+12
||df
||2
求解上面式子，可以得 f(
x)=∑
i=1n
wig(
x,xi
)w=(
g+λi
)−1y
g(x,xi)
為green函式，
g 為green矩陣，green函式為運算元
d 的形式有關。當
d具有旋轉不變性和平移
不變性，g(
x,xi
)=g(
||x−
xi||
) 。其中，乙個典型的green函式為 g(
x,xi
)=exp(−1
2σ2|
|x−x
i|2|
) 可通過k-means聚類確定樣本中心。若給定有
k 個樣本中心，則可隨機取
k個樣本作為初始聚類中心，通過迭代求出
k 個樣本中心。
[1]田玉波，混合神經網路技術，科學出版社，2023年6月
[2]
rbf神經網路 RBF神經網路以及Python實現
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