refer:tom在自動售貨機上買了一瓶飲料，售價37美分，他投入了1美元（1美元 = 100美分），現在自動售貨機需要找錢給他。售貨機中現在只有四種面額的硬幣：1美分、5美分、10美分、25美分，每種硬幣的數量充足。現在要求使用最少數量的硬幣，給tom找錢，求出這個最少數量是多少。
自動售賣機需要給tom找零錢63美分，而售賣機中只有四種面額的硬幣可以使用，現在的核心問題就是如何用四種面額的硬幣來湊夠63美分，並且使用的硬幣數量最少。
現在我們換個角度來思考這個問題：
是不是可以將問題規模先縮小？比如我不知道湊夠63美分最少需要多少個硬幣，那湊夠1美分、2美分的方案則顯而易見是可以馬上知道的。
為了後面敘述方便，用f(i) = n這個等式來表示這樣一種含義：湊夠i美分（0 <= i <= 63）所需要的最少硬幣數量為n個，那麼我們從湊夠0美分開始寫：
從上面的分析過程可以看出，要湊夠i美分，就要考慮如下各種方案的最小值：
1 + f(i - value[j])，其中value[j]表示第j種（j從0開始，0 <= j < 4）面值且value[j] <= i
那麼現在就可以寫出狀態轉移方程了：
f(i) = 0, i = 0
f(i) = 1, i = 1
f(i) = min, i > 1，value[j] <= i
# coding:utf-8
# 找零錢問題演算法實現：基本版
# 4種硬幣面值
values = [1,5,10,25]
# 湊夠amount這麼多錢數需要的最少硬幣個數
defmincoins
(amount):
# 需要的最少硬幣個數
ret_min = amount
if amount < 1:
ret_min = 0
# 如果要找的錢數恰好是某種硬幣的面值，那麼最少只需乙個硬幣
elif amount in values:
ret_min = 1
else:
# 遍歷面值陣列中面值小於等於amount的那些元素
for v in [x for x in values if x <= amount]:
# 用面值為v的硬幣+其他硬幣找零所需的最少硬幣數
min_num = 1 + mincoins(amount - v)
# 判斷min_num和ret_min的大小，更新ret_min
if min_num < ret_min:
ret_min = min_num
return ret_min
defmain
():print mincoins(63)
main()
cpu times: user 1min 45s, sys: 0 ns, total: 1min 45s
wall time: 1min 45s
分析：可以看出，在我的電腦上，僅僅是為了計算用4種面額找63美分零錢，就耗時1分鐘45秒（105秒），這是無法忍受的。那麼究竟為什麼耗時這麼巨大？下面對**稍加改造進行一下效能分析。
# coding:utf-8
# 找零錢問題演算法實現：基本版效能分析
# 統計遞迴次數
recursion_num = 0
# 4種硬幣面值
values = [1,5,10,25]
# 湊夠amount這麼多錢數需要的最少硬幣個數
defmincoins
(amount):
global recursion_num
# 需要的最少硬幣個數
ret_min = amount
if amount < 1:
ret_min = 0
# 如果要找的錢數恰好是某種硬幣的面值，那麼最少只需乙個硬幣
elif amount in values:
ret_min = 1
else:
# 遍歷面值陣列中面值小於等於amount的那些元素
for v in [x for x in values if x <= amount]:
# 用面值為v的硬幣+其他硬幣找零所需的最少硬幣數
min_num = 1 + mincoins(amount - v)
# 判斷min_num和ret_min的大小，更新ret_min
if min_num < ret_min:
ret_min = min_num
recursion_num += 1
return ret_min
defmain
():print mincoins(63)
print recursion_num
main()
cpu times: user 2min, sys: 36 ms, total: 2min
wall time: 2min
分析：可見，mincoins函式一共被遞迴呼叫了67716925次，真是難以想象，為了計算最多64個函式值（amount取0~63），居然遞迴呼叫了函式mincoins 67716925次，平均求每個值呼叫了1058076次。那麼問題出在**了呢？出在了重複計算上，有很多值被重複計算了上百萬次。那麼如何儘量減少重複計算呢？下面用乙個快取陣列來快取每次求出的函式值，供後面使用，從而減少重複計算。
# coding:utf-8
# 找零錢問題演算法實現：基本版效能分析
# 統計遞迴次數
recursion_num = 0
# 4種硬幣面值
values = [1,5,10,25]
# 快取陣列，為乙個一維陣列，用於快取每次遞迴函式求得的值
# cache[i]表示湊夠i美分所需的最少硬幣個數，cache的元素都被初始化為-1，表示個數未知
cache =
# 初始化快取陣列
definit
(amount):
global cache
cache = [-1] * (amount + 1)
# 湊夠amount這麼多錢數需要的最少硬幣個數
defmincoins
(amount):
global recursion_num
global cache
# 需要的最少硬幣個數
ret_min = amount
# 如果快取陣列中有對應的值，那麼直接從中取，不再重複計算了
if cache[amount] != -1:
ret_min = cache[amount]
elif amount < 1:
ret_min = 0
# 如果要找的錢數恰好是某種硬幣的面值，那麼最少只需乙個硬幣
elif amount in values:
ret_min = 1
else:
# 遍歷面值陣列中面值小於等於amount的那些元素
for v in [x for x in values if x <= amount]:
# 用面值為v的硬幣+其他硬幣找零所需的最少硬幣數
min_num = 1 + mincoins(amount - v)
# 判斷min_num和ret_min的大小，更新ret_min
if min_num < ret_min:
ret_min = min_num
# 更新快取陣列
cache[amount] = ret_min
recursion_num += 1
return ret_min
defmain
(): init(63)
print mincoins(63)
print cache
print recursion_num
main()
[-1, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6]
cpu times: user 4 ms, sys: 0 ns, total: 4 ms
wall time: 2.2 ms
分析：可見，cache陣列除了cache[0]沒被用到以外，其他元素都被利用到了，利用率還是很高的。使用快取陣列後，mincoins函式的遞迴呼叫次數從67716925次降低到了206次，降低了328722倍；程式耗時從105秒降低到了2.2ms，降低了47727倍，優化效果是巨大的。
動態規劃5 找零錢問題
題目 有陣列penny，penny中所有的值都為正數且不重複。每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，再給定乙個整數aim 小於等於1000 代表要找的錢數，求換錢有多少種方法。給定陣列penny及它的大小 小於等於50 同時給定乙個整數aim，請返回有多少種方法可以湊成aim。樣例...
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