FFT小知識點待整理

2021-07-31 03:23:38 字數 4625 閱讀 9106

函式f(x)=asin(wx+β)中的a就是振幅,最小正週期t=2π/w,頻率f=1/t

fft是離散傅利葉變換的快速演算法,可以將乙個訊號變換

到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的,但是如

果變換到頻域之後,就很容易看出特徵了。這就是很多訊號

分析採用fft變換的原因。另外,fft可以將乙個訊號的頻譜

提取出來,這在頻譜分析方面也是經常用的。

雖然很多人都知道fft是什麼,可以用來做什麼,怎麼去
做,但是卻不知道fft之後的結果是什意思、如何決定要使用

多少點來做fft。

現在圈圈就根據實際經驗來說說fft結果的具體物理意義。
乙個模擬訊號,經過adc取樣之後,就變成了數碼訊號。取樣

定理告訴我們,取樣頻率要大於訊號頻率的兩倍,這些我就

不在此羅嗦了。

取樣得到的數碼訊號,就可以做fft變換了。n個取樣點,
經過fft之後,就可以得到n個點的fft結果。為了方便進行fft

運算,通常n取2的整數次方。

假設取樣頻率為fs,訊號頻率f,取樣點數為n。那麼fft
之後結果就是乙個為n點的複數。每乙個點就對應著乙個頻率

點。這個點的模值,就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始

訊號的幅度有什麼關係呢?假設原始訊號的峰值為a,那麼fft

的結果的每個點(除了第乙個點直流分量之外)的模值就是a

的n/2倍。而第乙個點就是直流分量,它的模值就是直流分量

的n倍。而每個點的相位呢,就是在該頻率下的訊號的相位。

第乙個點表示直流分量(即0hz),而最後乙個點n的再下乙個

點(實際上這個點是不存在的,這裡是假設的第n+1個點,也

可以看做是將第乙個點分做兩半分,另一半移到最後)則表示

取樣頻率fs,這中間被n-1個點平均分成n等份,每個點的頻率

依次增加。例如某點n所表示的頻率為:fn=(n-1)*fs/n。

由上面的公式可以看出,fn所能分辨到頻率為為fs/n,如果

取樣頻率fs為1024hz,取樣點數為1024點,則可以分辨到1hz。

1024hz的取樣率取樣1024點,剛好是1秒,也就是說,取樣1秒

時間的訊號並做fft,則結果可以分析到1hz,如果取樣2秒時

間的訊號並做fft,則結果可以分析到0.5hz。如果要提高頻率

分辨力,則必須增加取樣點數,也即取樣時間。頻率解析度和

取樣時間是倒數關係。

假設fft之後某點n用複數a+bi表示,那麼這個複數的模就是

an=根號a*a+b*b,相位就是pn=atan2(b,a)。根據以上的結果,

就可以計算出n點(n≠1,且n<=n/2)對應的訊號的表示式為:

an/(n/2)*cos(2*pi*fn*t+pn),即2*an/n*cos(2*pi*fn*t+pn)。

對於n=1點的訊號,是直流分量,幅度即為a1/n。

由於fft結果的對稱性,通常我們只使用前半部分的結果,

即小於取樣頻率一半的結果。

好了,說了半天,看著公式也暈,下面圈圈以乙個實際的
訊號來做說明。

假設我們有乙個訊號,它含有2v的直流分量,頻率為50hz、
相位為-30度、幅度為3v的交流訊號,以及乙個頻率為75hz、

相位為90度、幅度為1.5v的交流訊號。用數學表示式就是如下:

s=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos引數為弧度,所以-30度和90度要分別換算成弧度。
我們以256hz的取樣率對這個訊號進行取樣,總共取樣256點。

按照我們上面的分析,fn=(n-1)*fs/n,我們可以知道,每兩個

點之間的間距就是1hz,第n個點的頻率就是n-1。我們的訊號

有3個頻率:0hz、50hz、75hz,應該分別在第1個點、第51個點、

第76個點上出現峰值,其它各點應該接近0。實際情況如何呢?

我們來看看fft的結果的模值如圖所示。

圖1 fft結果

從圖中我們可以看到,在第1點、第51點、和第76點附近有

比較大的值。我們分別將這三個點附近的資料拿上來細看:

1點: 512+0i

2點: -2.6195e-14 - 1.4162e-13i

3點: -2.8586e-14 - 1.1898e-13i

50點:-6.2076e-13 - 2.1713e-12i

51點:332.55 - 192i

52點:-1.6707e-12 - 1.5241e-12i

75點:-2.2199e-13 -1.0076e-12i

76點:3.4315e-12 + 192i

77點:-3.0263e-14 +7.5609e-13i

很明顯,1點、51點、76點的值都比較大,它附近的點值
都很小,可以認為是0,即在那些頻率點上的訊號幅度為0。

接著,我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值,

結果如下:

1點: 512

51點:384

76點:192

按照公式,可以計算出直流分量為:512/n=512/256=2;

50hz訊號的幅度為:384/(n/2)=384/(256/2)=3;75hz訊號的

幅度為192/(n/2)=192/(256/2)=1.5。可見,從頻譜分析出來

的幅度是正確的。

然後再來計算相位資訊。直流訊號沒有相位可言,不用管

它。先計算50hz訊號的相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236,

結果是弧度,換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再

計算75hz訊號的相位,atan2(192, 3.4315e-12)=1.5708弧度,

換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見,相位也是對的。

根據fft結果以及上面的分析計算,我們就可以寫出訊號的表達

式了,它就是我們開始提供的訊號。

總結:假設取樣頻率為fs,取樣點數為n,做fft之後,某
一點n(n從1開始)表示的頻率為:fn=(n-1)*fs/n;該點的模值

除以n/2就是對應該頻率下的訊號的幅度(對於直流訊號是除以

n);該點的相位即是對應該頻率下的訊號的相位。相位的計算

可用函式atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標為(a,b)點的角

度值,範圍從-pi到pi。要精確到xhz,則需要取樣長度為1/x秒

的訊號,並做fft。要提高頻率解析度,就需要增加取樣點數,

這在一些實際的應用中是不現實的,需要在較短的時間內完成

分析。解決這個問題的方法有頻率細分法,比較簡單的方法是

取樣比較短時間的訊號,然後在後面補充一定數量的0,使其長度

達到需要的點數,再做fft,這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。

具體的頻率細分法可參考相關文獻。

[附錄:本測試資料使用的matlab程式]

close all; %先關閉所有

adc=2; %直流分量幅度

a1=3; %頻率f1訊號的幅度

a2=1.5; %頻率f2訊號的幅度

f1=50; %訊號1頻率(hz)

f2=75; %訊號2頻率(hz)

fs=256; %取樣頻率(hz)

p1=-30; %訊號1相位(度)

p2=90; %訊號相位(度)

n=256; %取樣點數

t=[0:1/fs:n/fs]; %取樣時刻

%訊號

s=adc+a1*cos(2*pi*f1*t+pi*p1/180)+a2*cos(2*pi*f2*t+pi*p2/180);

%顯示原始訊號

plot(s);

title(『原始訊號』);

figure;

y = fft(s,n); %做fft變換

ayy = (abs(y)); %取模

plot(ayy(1:n)); %顯示原始的fft模值結果

title(『fft 模值』);

figure;

ayy=ayy/(n/2); %換算成實際的幅度

ayy(1)=ayy(1)/2;

f=([1:n]-1)*fs/n; %換算成實際的頻率值

plot(f(1:n/2),ayy(1:n/2)); %顯示換算後的fft模值結果

title(『幅度-頻率曲線圖』);

figure;

pyy=[1:n/2];

for i=1:n/2

pyy(i)=phase(y(i)); %計算相位

pyy(i)=pyy(i)*180/pi; %換算為角度

end;

plot(f(1:n/2),pyy(1:n/2)); %顯示相位圖

title(『相位-頻率曲線圖』);

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