排序 計數排序

計數排序假設n個輸入元素中的每乙個都是在0到k區間內的乙個整數，其中k為某個整數。當k = o(n)時，排序的執行時間為θ(n)。

計數排序的基本思想是：對每乙個輸入元素x，確定小於x的元素個數。利用這一資訊，就可以直接把x放到它在輸出陣列中的位置上了。例如，如果有17個元素小於x，則x就應該在第18個輸出位置上。當有幾個元素相同時，這一方案要略做修改。因為不能把它們放在同乙個輸出位置上。

在計數排序演算法的**中，假設輸入是乙個陣列[1..n],a.length = n。我們還需要兩個陣列：b[1..n]存放排序的輸出，c[0..k]提供臨時儲存空間。

counting-sort(a,b,k)

let c[0..k] be a
new array
for i = 0
to k
c[i] = 0
for j = 1
to a.length
c[a[j]] = c[a[j]] + 1
//現在c[i]包含陣列a[i]的元素的個數
for i = 1
to k
c[i] = c[i] + c[i - 1]
//c[i]現在包含陣列a[i]中小於或等於a[i]的元素個數
for j = a.length downto 1
b[c[a[j]]] = a[j]
c[a[j]] = c[a[j]] - 1

最後，在第10~12行的for迴圈部分，把每個元素a[j]放到它在輸出陣列b中的正確位置上。如果所有n個元素都是互異的，那麼當第一次執行第10行時，對每個a[j]值來說，c[a[j]]就是a[j]在輸出陣列中的最終正確位置。這是因為共有c[a[j]]個元素小於或等於a[j]。因為所有的元素可能並不都是互異的，所以，我們每將乙個值a[j]放入陣列b中以後，都要將c[a[j]]的值減1。這樣，當遇到下乙個值等於a[j]的輸入元素（如果存在）時，該元素可以被放到輸出陣列中a[j]的前乙個位置上。

計數排序的時間代價是多少呢？第2~3行的for迴圈所花時間為θ(k),第4~5行的for迴圈所花時間為θ(n),第7~8行的for迴圈所花時間為θ(k)，第10~12行的for迴圈所花時間為θ(n)。這樣，總的時間代價就是θ(k + n)。在實際工作中，當k = o(n)，我們一般會採用計數排序，這時的執行時間為θ(n)

計數排序的乙個重要性質就是它是穩定的：具有相同值的元素在輸出陣列中的相對次序與它們在輸入陣列中的相對次序相同。也就是說，對兩個相同的數來說，在輸入陣列中先出現的數，在輸出陣列中也位於前面。通常，這種穩定性只有當進行排序的資料還附帶衛星資料時才比較重要。計數排序的穩定性很重要的另乙個原因是：計數排序經常會被用作基數排序演算法的乙個子過程。我們將在下一節中看到，為了使基數排序正確執行，計數排序必須是穩定的。

8.2-1參照圖8-2的方法，說明counting-sort在陣列a = 上的操作過程

答：

(a) a = 
c = 
(b) c = 
(c) b = 
c = 
(d) b = 
c = 
...(e)
b = 

public

class countingsort 
for(int i = 1; i < c.length; i++)
for(int j = a.length - 1; j >= 0; j--)
system.out.println(arrays.tostring(b));
}public
static
void
main(string args) ;
int b = new
int[8];
sort(a,b,9);}}

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