定義zp
s[x]
上的兩個多項式f1
和f2,如果存在兩個zp
s[x]
上的多項式λ1
和λ2,滿足λ1
f1+λ
2f2=
1 ,也即滿足zp
s[x]
f1+z
ps[x
]f2=
zps[
x]則稱f1
和f2在zp
s[x]
上是互素的。對於
λ1f1
+λ2f
2=1⇔
zps[
x]f1
+zps
[x]f
2=zp
s[x]
的簡單證明如下：
證明:對於
充分性而
言,若λ
1f1+
λ2f2
=1，則任取乙個f∈
zps[
x]並分別乘在等式兩邊有，(f
λ1)f
1+(f
λ2)f
2=f。
由整數多項式環上乘法運算封閉易有fλ
1∈zp
s[x]
,fλ2
∈zps
[x]。
則該式表明對於任意的f∈
zps[
x]，均有對應的fλ
1∈zp
s[x]
,fλ2
∈zps
[x] 滿足(f
λ1)f
1+(f
λ2)f
2=f。
則按定義知zp
s[x]
⊆zps
[x]f
1+zp
s[x]
f2。 又由整數多項式環乘法運算和加法運算封閉知若fλ
1∈zp
s[x]
,fλ2
∈zps
[x],
f1,f
2∈zp
s[x]
，則顯然有(f
λ1)f
1+(f
λ2)f
2∈zp
s[x]
,也即
zps[
x]f1
+zps
[x]f
2⊆zp
s[x]
,故zp
s[x]
f1+z
ps[x
]f2=
zps[
x]，充
分性證畢
。 對
於必要性
而言，我
們易知因
1∈zp
s[x]
,則由z
ps[x
]f1+
zps[
x]f2
=zps
[x]知
，必定存
在兩個λ
1,λ2
∈zps
[x] ,使得λ1
f1+λ
2f2=
1 ,證畢。
基於以上定義，我們可以模仿之，用於定義兩個域fp
[x] 上的多項式的互素，也即若fp
[x] 上的兩個多項式互素，當且僅當它們沒有度大於等於1的最大公因子。
lemma 13.5 let f1
and f2
∈zps[x]
.then f1
and f2
are coprime in zp
s[x]
if and only if f¯
1 and f¯
2 are coprime in fp
[x]
證明之前，首先明確f1
和 f¯
1 的含義，前者為zp
s[x]
的乙個多項式，後者是f1
中每個係數mo
d p 之後的多項式。
例子： 若p
=2,s
=3則zps
=z8=
又f1∈z8[
x],也
即f1中
的x前面
的任意系
數ai∈
z8,不妨令f1
=2x7
+3x6
+6x5
+7x4
+4x3
+5x+
7 ,則根據定義，f¯
1=x6
+x4+
x+1 ,即只保留原f1
中係數為奇數的
x 的冪次。
證明： 當s
=1時,
zps[
x]=z
p[x]
，此時z
p=。又f
1∈zp
[x] ,
不妨設f1=
amxm
+am−
1xm−
1+..
.a1x
1+a0
接著，任取f1
的乙個係數記為a′
，按定義a′
可表示為a′
=cnp
n+cn
−1pn
−1+.
..c1
p1+c
0 且我們知道a′
∈zp=
,故我們易有f1
中的任意
係數a′
=c0 。
以上結論可以用反證法證明，也即若設a′
=cnp
n+cn
−1pn
−1+.
..c1
p1+c
0 ，存在乙個
i>
0 使得ci
≠0,那麼顯然有ci
pi≥p
, 即a′
∉zp 這與已知條件a′
∈zp矛
盾 故a′
=c0 ，證畢。從而我們有a′
=c0=
a′¯ ,進而我們有f1
¯=f1
及f2¯
=f2 故結論顯然成立。 而當s
>
1 時，我們假設f1
¯和f2
¯在域f
p[x]
上互素 ，則對於λ1
和λ2∈
zps[
x],有λ¯
1f1¯
+λ¯2
f2¯=
1 進而我們有λ1
f1+λ
2f2=
1+pk
,其中k
∈zps
[x] 。接著我們構造l=
∑s−1
i=0(
−pk)
i 並將其分別乘於前式的等式兩邊，則有lλ
1f1+
lλ2f
2=l(
1+pk
) 對於右邊，我們進一步展開有l(
1+pk
)=∑s
−1i=
0(−1
)ipi
ki+∑
s−1i
=0(−
1)ip
i+1k
i+1 將和式展開，並裂項相消有l(
1+pk
)=(−
1)p0
k0+(
−1)s
−1ps
ks顯然在如若
中 (−
1)s−
1psk
s=0 故l(
1+pk
)=1 也即lλ
1f1+
lλ2f
2=1 再次利用zp
s[x]
是整數多項式環，元素運算具有封閉性知lλ
1∈zp
s[x]
和lλ2
∈zps
[x] 故最終我們可得lλ
1f1+
lλ2f
2=1=
λ1f1
+λ2f
2 。因此f1
和f2在
zps[
x]上是
互素的，
反之亦然
。
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