首先要做這兩道題，需要掌握的基礎知識有 余子式mi
j 、代數余子式ai
j 、伴隨矩陣、逆矩陣a∗
=1|a
|a−1
逆矩陣存在條件： 滿秩
行秩等於列秩
湘潭a題意：
給乙個 (n-1) * n 的矩陣 對於每一列， 求去掉這一列的餘下的 (n-1) 階行列式的determinant n的取值範圍為200
賽上思路
暴力是o(n
4)的，顯然需要優化 賽上我們發現了， 如果補上第n行， 那麼我們要求的是mn
1...
mn2 我們想到了 d=
∑ni=
1ani
ani 理想情況下我們將給的矩陣消成類似上三角的形狀
x a b c
0 y d e
0 0 z f
再在原來的矩陣上補乙個滿足形如
0 0 1 0
//例子假設 n == 4
的行向量，繼續消元成
x a b c
0 y d e
0 0 z f
0 0 0 p
那我們最後求得的xy
zp就是 an
4 ， 問題得到了解決
賽下我重新寫這個做法時，發現賽上**也許很容易就被叉掉了 假設輸入為
4 1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
我們無法將其消成上三角形狀的矩陣 但是我們可以將其消成階梯矩陣 //再注意下邊界情況即可
標解假如我們在矩陣最上方補一行， 形成nn
的矩陣 那我們要求的是這個矩陣的伴隨矩陣的第一列 當逆矩陣存在時， 逆矩陣與伴隨矩陣滿足最上方的a=
1|a|
a−1 由於 a−
1a=e
這樣我們就可以列出關於 a11
..a1
n 的n個方程， 解方程組即可。 可以知道方程組的係數矩陣就是a， 如果a滿秩的話，可以得到唯一解；如果a不滿秩的話，我們將得到a11
..a1
n 全為0 (note: 是這個齊次線性方程組的特解)
這樣我們需要確保只有在a11
..a1
n 全為0的情況下我們構造的a矩陣是不滿秩的。 題解給的方法是隨機生成第一行。
其隱藏了以下待證明條件： 若隨機生成第一行，則幾乎百分百的情況下，只有當m11
...m
1n全是非滿秩時，生成的矩陣才是非滿秩的。
這個條件我不能給出嚴格的數學證明，但從反證法的角度思考，我認為其是正確的。
四川省賽c
省賽讀題沒有太仔細， 看到最後一行乙個1e
9+7 自動預設是膜1e
9+7 之類的
題解說經過簡單計算可以發現an
s[i]
[j] 和 an
s[1]
[j] 只差乙個符號，剩下的內容就是湘潭a
反正我就本人而言，賽上是沒有能力做什麼簡單計算了。但是就題目而言，我猜測：如果消元演算法的複雜度是o(
n3) 的， 那極限一道題應該只能求解500到1000範圍的方程組。像這種要求
2.5e5個
x 的題目，應該根據特殊條件大膽找規律……//要找這個規律就要先把高斯的板子敲掉，這就不一定有時間了，很傷！
兩道簡單的題目
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