十三資料結構 B 樹

十

四、資料結構---b+樹

一、b-樹

1、什麼是b-樹

具體講解之前,有一點,再次強調下:b-樹,即為b樹。因為b樹的原英文名稱為b-tree,而國內很多人喜歡把b-tree譯作b-tree,其實,這是個非常不好的直譯,很容易讓人產生誤解。如人們很可能會以為b-樹是一種樹而b樹又是另一種樹。而事實上是,b-tree就是指的b樹。

我們知道,b樹是為了磁碟或其他儲存裝置而設計的一種多叉(下面你會看到,相對於二叉,b樹每個內結點有多個分支,即多叉)平衡查詢樹。與紅黑樹很相似,但在降低磁碟i/o操作方面要更好一些。許多資料庫系統都一般使用b樹或者b樹的各種變形結構,如下文即將要介紹的b+樹儲存資訊。

2、b-樹概念(用階定義b樹)

是一種多路搜尋樹(並不是二叉的),又叫平衡多路查詢樹。一棵m階的b樹的特性如下:

a、定義任意非葉子結點最多只有m個兒子;且m>=2;

b、根節點的兒子數為[2,m](此時的根結點不是葉子結點);

c、除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[m/2,m];

d、有j個孩子的非葉結點恰好有j-1個關鍵字,關鍵字按遞增順序排列。

e、非葉子結點的關鍵字個數n必須滿足: [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1;(其中ceil(x)是乙個取上限的函式)

f、非葉子結點的關鍵字:k[1],k[2],...,k[m-1];且k[i] < k[i+1];

g、非葉子結點的指標:p[1],p[2],...,p[m];其中p[1]指向關鍵字小於k[1]的子樹,p[m]指向關鍵字大於k[m-1]的子樹,其它p[i]指向關鍵字屬於(k[i-1],k[i])的子樹;

h、所有的葉子結點位於同一層,葉子結點不包含任何關鍵字資訊

一棵含有n個總關鍵字數的m階的b樹的最大高度是多少?

答:若b樹包含n個關鍵字,則次非葉子結點包含有n-1個孩子結點,而所有的葉子結點都在第i層,我們可以得出:

1、因為根至少有兩個孩子,因此第2層至少兩個結點

2、除根和葉子外,其他結點至少┌m/2┐個孩子

3、因此在第3層至少有2*┌m/2┐個結點

4、在第4層至少有2*(┌m/2┐^2)個結點

5、在第i層至少有2*(┌m/2┐^(i-2))個結點,

於是有: n+1 ≥ 2*(┌m/2┐^(i-2))

考慮第i層的結點個數為n+1,那麼2*(┌m/2┐^(i-2)) ≤ n+1,也就是i層的最少結點數剛好達到n+1個,

即: i ≤ log┌m/2┐((n+1)/2)+2;

所以,當b樹包含n個關鍵字時,b樹的最大高度為i-1(因為計算b樹高度時,葉結點所在層不計算在內),

即: i-1 ≤ log┌m/2┐((n+1)/2)+1;(log_ceil(m/2)(n+1)/2+1)

ceil:返回不小於(m/2)的下乙個整數。

3、插入操作

插入乙個元素時,首先在b樹中是否存在,如果不存在,即在葉子結點處結束,然後在葉子結點中插入該新的元素,注意:如果葉子結點空間足夠,這裡需要向右移動葉子結點中大於新插入關鍵字的元素,如果空間滿了以致沒有足夠的空間去新增新的元素,則將該結點進行"**",將一半數量的元素**到新的其相鄰右節點中,中間關鍵字元素上移到父結點中(當然,如果父結點空間滿了,也同樣需要"**"操作),而且當結點中關鍵元素向右移動了,相關的指標也需要向右移。如果在根結點插入新元素,空間滿了,則進行**操作,這樣原來的根結點中的關鍵字元素向上移動到新的根結點中,因此導致樹的高度增加一層。

b-樹的特性:

1、關鍵字集合分布在整顆樹中;

2、任何乙個關鍵字出現且只出現在乙個結點中;

3、搜尋有可能在非葉子結點結束;

4、其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢;

5、自動層次控制;

二、b+樹

b+樹是b-樹的變體,也是一種多路搜尋樹:

a、任意非葉子節點最多有m個子節點;且m>2;

b、除根結點以外的非葉子結點至少有m/2個子節點;

c、根結點至少有兩個子節點;

d、除根結點外每個結點存放至少m/2和至多m個關鍵字;(至少2個關鍵字)

e、非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同;

f、所有結點的關鍵字:k[1],k[2],...k[m];且k[i] < k[i+1];

g、非葉子結點的子樹指標p[i],指向關鍵字值屬於[k[i],k[i+1])的子樹;

h、所有葉子結點位於同一層;

i、為所有葉子結點增加乙個鏈指標;

j、所有關鍵字都在葉子結點出現;

b+的搜尋與b-樹也基本相同,區別是b+樹只有達到葉子結點才命中(b-樹可以在非葉子結點命中),其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢;

b+的特性:

1.所有關鍵字都出現在葉子結點的鍊錶中(稠密索引),且鍊錶中的關鍵字恰好是有序的;

2.不可能在非葉子結點命中;

3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引(稀疏索引),葉子結點相當於是儲存(關鍵字)資料的資料層;

4.更適合檔案索引系統;

三、b+樹的查詢

對b+樹可以進行兩種查詢運算:

1.從最小關鍵字起順序查詢;

2.從根節點開始,進行隨機查詢。

在查詢時,若非終端結點上的關鍵值等於給定值,並不終止,而是繼續向下直到葉子結點。因此,在b+樹中,不管查詢成功與否,每次查詢都是走了一條從根到葉子結點的路徑。

四、總結

b樹:有序陣列+平衡多叉樹;

b+樹:有序陣列鍊錶+平衡多叉樹;

十三資料結構 B 樹

資料結構 B樹，B 樹

資料結構 B樹 B 樹

資料結構 B樹 B 樹

十三 資料結構 B 樹

資料結構 B樹，B 樹

資料結構 B樹 B 樹

資料結構 B樹 B 樹

相關推薦

十三資料結構 B 樹