NP問題證明

一所謂風箏圖是這樣的，其頂點數為偶數（比如2n），且其中的n個頂點構成了乙個團，剩餘的n個頂點則由一條稱為「尾巴」的路徑連線，尾巴的某個端點與團中乙個頂點相連。給定乙個圖和目標g，風箏圖問題要求該圖的乙個包含2g個頂點的風箏子圖。請證明該問題是np-完全的。

分析：可以將團問題歸約到kite問題。

解答：給定乙個圖g，和目標g，求乙個有g個頂點的完全圖。如果

我們要求g(v,e)的最大團，那麼我們可以在圖g中新增|v|個新頂點

然後將每乙個新頂點連向原圖中互異的頂點，此時共得到了|v|條新邊，這樣得到乙個新圖。

把這個新圖稱為g'

容易看出來，在g'中存在著大小為2g的kite當且僅當g存在大小為g的團

先證：g'中有2g的風箏 → g存在g的團

把g'中只有風箏尾巴(g個點)去除，得到的圖也含有乙個g大小的完全圖，去除的g個點必然是在新增加的|v|個點裡面的，去除後不影響原圖g，所以原圖g也有g大小的團。

再證：g存在g的團→

g'中有2g的風箏

顯而易見，根據上述構造的方法，就可以的到2g的風箏。

二在精確的4sat問題中，輸入為一組子句，每個子句都是恰好4個文字的析取，且每個變數最多在每個子句中出現一次。目標是求它的滿足賦值——如果該賦值存在。證明精確的4sat是np-完全問題。

分析：已知3sat問題是np完全問題。現在通過將3sat歸約到exact 4sat來證明後者的np完全性。規約時要保證每個變數在子句中只出現一次，另外要讓每個子句恰好有4個文字。

解答：易得4sat問題是np問題。

對於任意乙個3sat例項，若其中某個子句中乙個文字出現多次，可以將該文字刪減為一次。如果同時包含了某個變數的肯定和否定，那麼可以將這個變數去掉。另外，在每個子句中新增一些輔助變數，這樣可以將每個子句包含的文字數目擴充到四個。

三在碰撞集問題中，給定一組集合和預算b，我們希望求乙個所有的si相交且規模不大於b的集合h，當然，前提是這樣的集合確實存在。

分析：將最小頂點覆蓋規約到hiyying set

解答：將最小頂點覆蓋歸約到碰撞集問題。現假設求圖g的最小頂點覆蓋，我們可以建立乙個碰撞集例項。其中s1,s2,sn即是圖g的各條邊,比如

,….。這樣，就可以把求g的最小頂點覆蓋歸約成，求這|e|個集合的碰撞集h。其中h的大小b就是最小頂點覆蓋。已知最小頂點覆蓋是乙個np完全問題，所以該問題是乙個np完全問題。