給定乙個整數序列，a0, a1, a2, …… , an（項可以為負數），求其中最大的子串行和。如果所有整數都是負數，那麼最大子串行和為0；
例如：對於序列-2， 11， -4， 13， -5， –2。 所求的最大子串行和為20（從11到13，即從a1到a3）。
用於測試下面**的的主函式**如下：（注意要更改呼叫的函式名）
[cpp]view plain
copy
intmain(
intargc,
char
**argv)
這是最容易想到的，也是最直接的，就是對所有的子串行求和，**如下：
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum1(
const
vector<
int> &a )
if(thissum>maxsum)
} } return
maxsum;
}
分析：
① 三層迴圈巢狀，時間複雜度為o(n^3)；
② 包含有大量的重複計算，例如i=1時： 當 j=3，則計算a1+a2+a3；j=4，則計算a1+a2+a3+a4；其中a1+a2+a3是重複計算的。
另一種思路：上面的方法在每一次迴圈中，固定i，並把a[i]當做起點，下面的方法將a[i]當做終點。
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum1_2(
const
vector<
int> &a )
} } }
return
maxsum;
}
如果你意識到，子串行總要有乙個位置開始，那麼變換一下迴圈方式，只要求出在所有位置開始的子串行，找到最大的。**如下：
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum2(
const
vector<
int> &a )
} } return
maxsum;
}
分析：
① 兩層迴圈巢狀，時間複雜度為o(n^2)；
② 雖然比方法一要少，但同樣包含重複計算。例如：當i=1時，要計算a1+a2+a3+a4+……；當i=2時，要計算a2+a3+a4+……；其中a2+a3+a4+……是重複的。
注意：下面是乙個錯誤的方法，因為它的起始點固定了，每次都從a0開始，是不能保證遍歷所有的子串行的。
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum2_2(
const
vector<
int> &a )
} } return
maxsum;
}
如果希望將固定終點，那麼計算的時候就要從終點開始，依次往前累加。**如下：
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum2_3(
const
vector<
int> &a )
} } return
maxsum;
}
到目前為止，題目的資訊你只用到了：「最小子序列之和為0」（若有一項大於0，那麼子串行的和一定大於或等於該項，也就大於0；因為若所有項都是負數，那麼結果為0
如果你再挖掘一下題意：你就會發現，如果a[i]是負的，那麼a[i]一定不是最終所有結果子串行的起始點。**可以改造為：
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum3_1(
const
vector<
int> &a )
} } return
maxsum;
}
如果你又再一步發現：任何負的子串行，不可能作為最優子串行的字首。
又因為上一步已經保證，序列以正數開頭a[i]>0，所以若a[i]到a[j]之間元素的序列和 thissum<=0時，則i+1和j之間元素不會為最優子串行的字首，可以讓i=j，即不需要判斷在i和j之間元素開頭。**如下
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum3_2(
const
vector<
int> &a )
else
if( thissum <= 0 )
} }
return
maxsum;
}
如果你又進一步發現：因為要求序列開始元素大於0， 若以a[i]開頭的序列，a[i]>0，那麼可以知道，所求的最終子串行一定不會以a[i+1]開始， 因為若到相同的元素終止，那麼從a[i]開始序列，一定大於從a[i+1]開始的序列。因為s[i, k]=s[i+1, k]+a[i] 例如：a1+a2+a3>0，而又由於這時a1>0, 那麼所求子串行一定不會以a2開始，因為從a1開始會更大。 更進一步，如若乙個子串行thissum>0（其中thissum是從第m項到第n項的和），那麼序列一定不會以a[m]和a[n]之間的項開始。 因為一直thissum第乙個元素a[m]是大於0的，且以a[m]開始的所有子串行都是大於0的，因為若存在子串行小於0，就會提前返回了。 例如：若程式執行到thissum （為a2+a3+a4），若thissum>0，則能說明，a2>0，並且a2+a3>0， a2+a3+a4>0。那麼 也可以跳過a[m]和a[n]之間的項，即另 i=j。
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum3_3(
const
vector<
int> &a )
i = j; //（相對方法3_2 新添）
} else
if( thissum <= 0 )
} } return
maxsum;
}
最後如果你又了解一些程式結構上的優化的知識，那麼你會發現下面的問題：
① 迴圈的分支可以改變一下，去除巢狀分支結構。
② 判斷語句的分支中有共同部分，( i=j )，可以抽取出來。
以上兩步以後，迴圈部分的**程式設計 變成：
[cpp]view plain
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for(
inti=0; i
else
if( thissum>0 )
else
if( thissum <= 0 )
i = j;
}
}
③ 下面這步非常重要，如果你發現，內層迴圈的迴圈變數j 和 外層迴圈的迴圈變數i
同步增長，那麼你是否能夠想到，外層迴圈可能沒有存在的必要。在這裡到底能不能去除外層迴圈，取決於外層迴圈中是否有額外的工作要做。這裡的額外工作是是if(a[i] <=0) 判斷語句，如果你能發現內層迴圈的 if(thissum < 0)的判斷能夠替代 if( a[i]<=0 ) 的工作。因為thissum是由a[j]得到的。
到這裡，**就可以神奇的變為如下的形式：常量空間，線性時間
[cpp]view plain
copy
intmaxsubsum3_4(
const
vector<
int> &a )
else
if( thissum>0 )
else
if( thissum < 0 )
}
return
maxsum;
}
分析：
① 只有一層迴圈，時間複雜度為o(n)
。常量空間，線性時間，這是最優解法
。
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