學完線性代數的同學,可能會對線性代數的很多概念有所疑惑.
這個東西有什麼用?那個玩意定義出來有什麼意義?
本文將**線性代數中及其重要的兩個概念:特徵值與特徵向量.
(ps:下文中的矩陣
a 均認為是方陣)
矩陣不單單是二維的陣列,它更重要的角色是對映:y⃗
=ax⃗
y⃗ =
ax⃗ 就相當於y⃗
=f(x
⃗ ),矩陣
a 是把向量x⃗
對映到向量y⃗
的乙個函式,或者說,對映,運算元.
從一般的角度看,這個對映無非就是矩陣乘向量,說得具體一點,就是n次的向量點積計算.
(矩陣的一行乘上向量,並對結果向量的所有元素求和,就是一次點積)
錯!實際上,這個對映本質是乙個縮放操作.舉乙個簡單的例子,矩陣a=
(43−
2−1)
它的特徵值分別是2和1,特徵向量是(1
1)和(23
) .
設向量x⃗ =
(12)
,那麼顯然結果y⃗
=ax⃗
=(01
) .
我們使用另一種方法計算,首先我們將x⃗
表示成特徵向量(1
1)和(23
) 的線性組合,即:x⃗
=(12
)=−1
∗(11
)+1∗
(23)
然後,我們將特徵值和對應的係數相乘,得到: y⃗
=−1∗
2∗(1
1)+1
∗1∗(
23)=
−2∗(
11)+
1∗(2
3)
顯然,如果你繼續計算下去,你也會得到y⃗
=(01
)
特徵值和特徵向量的意義就在於此!因此,我們需要將向量x⃗矩陣所充當的對映,實際上就是對特徵向量的縮放,每個特徵向量的縮放程度就是特徵值.
表示成特徵向量的線性組合(相當於以特徵向量為基),得到相應的特徵向量的權重.
然後,每個權重與特徵值相乘,就是這個對映最本質的縮放操作.
基於這樣的理解,我們可以很簡單地解釋很多結論.
對角化分解實際上就是我們解釋特徵值含義的過程.a=
pλp−
1 ,其中
p 是由特徵向量組成的矩陣,
λ是由特徵值組成的對角矩陣.
在解釋對角化分解之前,我們還要先解釋矩陣的另乙個含義.對於z
⃗ =py
⃗ ,事實上矩陣
p 還有其他含義,比如在這裡有轉換基向量的含義:
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