資料結構二之演算法基礎

一.為什麼要學習演算法？

先來個簡單的演算法比較：求sum=1+2+3+...+(n-1)+n的結果.　輸入整數n，輸出 sum　

解法一：for迴圈

function
sum(n)


return
s; 　
//執行1次
}

解法二：

function
sum(n)

很明顯，解法二要優於解法一。因為解法二需要運算的次數少。我們去衡量乙個演算法的好壞主要是從時間複雜度和空間複雜度來看的，其次才到可讀性，可維護性。那麼接下來講講怎麼來計算時間複雜度與空間複雜度。

二.時間複雜度的計算：

推導大o階來計時間複雜度

規則：1.用常數1取代執行時間中的所有加法常數（即常數階都計為o(1) ）；

2.在修改後的執行次數函式中，只保留最高端項；

3.如果最高端項存在且不是1,則去除與這個項相乘的常數

解法一的執行次數：　f1(n) = 1+n+1+1=n+3 次　　時間複雜度記作 t(n) = o( f1(n) )　　//n+3直接捨掉常數，變為n ，名為「線性階」

解法二的執行次數：　f2(n) = 1次　　　　　　　　時間複雜度記作 t(n) = o( f1(1) )　　//名為「常數階」

由此可知解法一隨n的增加，執行次數也增加，而解法二始終只需執行一次

對數階：

function
count(n) 
return
c; }

也就是說2的多少次冪大於n，就執行了多少次。時間複雜度計做o(logn),名為對數階。

平方階：

function
num(n)
}return
count;
}

以上**執行總次數為n+(n-1)+(n-2)+...+1 = n2/2+n/2 次，用大o推導法去掉相加常數n/2,去掉相乘常數1/2,所以時間複雜度為o(n2)
總結：時間複雜度有多種，這裡是討論常見的階。常用的時間複雜雜耗時的時間從小到大依次為：
o(1) < o(logn) < o(n) < o(nlogn) < o(n2) < o(n3) < o(2n) < o(n!) n)

擴充套件：最壞時間複雜度

例：給出乙個陣列arr，裡面有n個隨機數，找出arr中的指定數字。那麼這個數字有可能出現在陣列中的第乙個位置，時間複雜度為o(1);也可能出現在陣列最後乙個位置，時間複雜度為o(n) ,從概率來說，平均查詢時間應該是n/2次。

最壞時間複雜度從字面上就能理解，時間最長的情況，時間不會更長，情況不會更壞了。通常沒有特殊說明，我們計算的時間複雜度都為最壞時間複雜度。　　　　

三.演算法空間複雜度

演算法的空間複雜度並不是計算實際占用的空間，而是計算整個演算法的輔助空間單元的個數，與問題的規模沒有關係。演算法的空間複雜度s(n)定義為該演算法所耗費空間的數量級。s(n)=o(f(n)) 若演算法執行時所需要的輔助空間相對於輸入資料量n而言是乙個常數，則稱這個演算法的輔助空間為o(1)。通常，我們用時間複雜度來衡量演算法的優略。

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