如下公式為：f(
p1,…
,pn)
=∑ni
=0pi
∗log
pi,其中∑n
i=0p
i=1，
且pi+1
這個式子在p1
=p2=
...=
pn處取得最小值.
其中證明的方式是，構造乙個序列，(p
11,…
,p1n
) 到(p
k1,…
,pkn
) .
構造方法是通過區域性調整pi
,pi+
1 的大小。令e
=∑ni
=0pi
n ,則 (p
21,…
,p2n
)=(e
,p11
+p12
−e,…
,p1n
) (p
31,…
,p3n
)=(e
,e,p
22+p
23−e
,…,p
2n)
(pn−
11,…
,pn−
1n)=
(e,e
,…,e
) 而可以很輕易的證明f(
pi1,
…,pi
n)>f(
pi+1
1,…,
pi+1
n)(原問題從而轉化成該問題）
從而證明到對於任意的p1
,…,p
n,f(
p1,…
,pn)
>f(
e,…,
e)但是這種證明方式基於一種幸運之上。因為正好存在這種構造序列的方法，並且這種構造能夠輕易證明。
如果我現在假定，構造序列只允許如下操作，對序列中兩個數做一次平均操作，即對任意的pi
,pj 可以構造成pi
+pj2
,pi+
pj2 ,即(p
k1,…
,pki
,…,p
kj,…
,pkn
) 只能轉化成(p
k+11
,…,p
k+1j
+pk+
1j2,
…,pk
+1j+
pk+1
j2,…
,pk+
1n) 。
怎麼通過有規律的執行該操作來構造序列，經過無限次操作後，序列能夠達到(e,e,…,e)的極限，且f(
pi1,
…,pi
n)>f(
pi+1
1,…,
pi+1
n)。
下面構造一種方法，符合上面的條件。
反覆執行如下操作(記為a)：
1.p1最終會達到極限(e,e…e).注意到ａ操作事實上是乙個線性變換，所以ａ是乙個矩陣。所以an,p2進
行平均 2.p
2,p3
進行平均
… n-1.pn
−1,p
n進行平
均
會達到如
下極限
⎛⎝⎜⎜
⎜⎜⎜1
n⋮1n
⋯⋯⋯1
n⋮1n
⎞⎠⎟⎟
⎟⎟⎟
這個收斂的證明方式，尚且不知。
事實上，上述證明方法是一種很一般的方法的特殊應用。
記ｍ是乙個向量空間。v是ｍ空間中的乙個元素，g將v對映到乙個數域空間，g(v)稱之為v的標量。p是關於v的謂詞,記為p(v).
m將v對映到ｍ中的另乙個元素。
則用m構造乙個序列(v
1,v2
,…,v
n),
要證明p(v
n),即證明p(
v1)成
立，且p
(vi)
成立，則
p(vi
+1)成
立 ，事實上這是數學歸納法
要證明g(v
n)>g(
v1) ,即證明對任
意的i,
g(vi
)>g(
vi−1
) .
這種證明的方式，本質上利用了向量空間的性質。
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