bash game nim game 和 wythoff game，較為領人驚嘆的是，他們最後都是通過數論或者自然數性質完美解決：
bash game:同餘理論
nim game:異或理論
wythoff game:**分割
一堆n個物品，兩人輪流取，每次取1至m個，最後取完者勝，比如10個物品，每次只能取1到5個，則先手方必贏
1.面對[1...m]個局面，必勝
2.面對m+1個局面，必輸
3.如果可以使對手面臨必輸局面，那麼是必贏局面
4.如果不能使對手面臨必輸局面，那麼是必輸局面
基礎：1 , 2, ..., m是必贏局面， m+1是必輸局面
遞推：m+2,m+3, ... ,2m+1是必贏局面，2m+2是必輸局面
...k(m+1)是必輸局面，應該允許k=0,因為0顯然也是必輸局面
在必輸局和必贏局中，贏的一方的策略是： 拿掉部分物品，使對方面臨k(m+1)的局面
例如上例中10個物品，只能拿1到5個，先手方拿4個即可，對手無論拿多少個，你下次總能拿完
從另乙個角度思考這個問題，如果物品數量隨機，那麼先手一方勝利的概率是m/(m+1)，後手方勝利的概率是1/(m+1)
m堆n個物品，兩人輪流取，每次取某堆中不少於1個，最後取完者勝
詳細分析見：poj-2234:matches game
所有物品數目二進位制異或 為0，則先手必輸
所有物品數目二進位制異或不為0，則後手必輸
從另乙個角度思考這個問題，如果物品數量隨機，那麼每個數目的每一位上1或0概率相同，
如果有奇數個堆，那麼1的個數為偶數或者奇數的概率相同，
如果有偶數個堆，那麼1的個數為偶數的概率略大1/(m+1)，
也就是說異或結果的每一位為0或1的概率幾乎差不多，而先手必輸要求異或結果每一位都為0，其實輸的概率很小
兩堆（ak,bk）(ak<=bk)個物品，兩人輪流取，每次從一堆中取k個或者從2堆中同時取k個，最後面對(0,0)局面的輸（設ak<=bk是為了忽略順序的影響）
1.面對(0,0)局面必輸
2.面對(1,1)(2,2)...(n,n)局面必贏
(0,1)(0,2)...(0,n)局面必贏
3.如果可以使對手面臨必輸局面，那麼是必贏局面
4.如果不能使對手面臨必輸局面，那麼是必輸局面
基礎：(0,0)是必輸局面;(0,1)(0 ,2)...(0,n)是必贏局面,
遞推：(1,2)是必輸局面;(1,1)是必贏局面
(1,3)(1 ,4)...(1,n)是必贏局面
(2,2),(2,3)...(2,n)是必贏局面
(3,5)是必輸局面;(3,3)(3,4)是必贏局面
(3,6)(3,7)...(3,n)是必贏局面
(5,5)(5,6)...(5,n)是必贏局面
(4,7)是必輸局面;(4,4)(4,5)(4,6)是必贏局面
(4,8)(4,8)(4,9)...(4,n)是必贏局面
(7,7)(7,8)(7,9)...(7,n)是必贏局面
(6,10)是必輸局面;(6,6)(6,7)(6,8)(6,9)是必贏局面
(6,11)(6,12)(6,13)...(6,n)是必贏局面
(10,10)(10,11)(10,12)...(10,n)是必贏局面
首先發現規律：（必輸局面的規律比較容易找到）
ak是前面必輸局未出現的數中最小者，
bk=ak+k( k=0,1,2,3,...n)
下面介紹必輸局（奇異局）的最重要性質：
1,2,...,n中每乙個自然數，出現且只出現在乙個奇異局中。
推導：1.由於ak總是選擇未出現的數，所以每個數總能出現在奇異局中
且ak不會選擇到重複的數
2.bk=ak+k，所以bk總是比前面所有奇異局出現的數都大，
所以bk不會選擇到重複的數
必贏一方的策略是：始終讓對手面對必輸局（奇異局）
給定任意局勢（a,b），判定（a,b）是否為必輸局的方法是：
k=0,1...n 記**比例是φ=1.618033
ak=[k*φ]，bk=ak+k=[k*φ*φ]
如k=0,ak=0,bk=0
k=1,ak=1,bk=2
k=2,ak=3,bk=5 k=3,ak=4,bk=7
更好的一種判斷策略是 k = bk-ak ,如ak=k*φ時，當前局勢為奇異局
從勝負概率角度，如果堆中數量隨機，先手一方優勢很大
（相應經典題目是poj-1067）
三個十分相似的遊戲，但局勢的判斷和必勝策略差異卻很大，但卻又都來自數的性質，這不得不說是一件讓人驚奇的事情。
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