Strassen s 矩陣乘法 分治法實現

2021-08-13 02:57:22 字數 3687 閱讀 9529

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題目：

1.比較數學定義的矩陣乘法演算法和strassen』s 矩陣乘法演算法的效率；

2.自主生成兩個16*16的矩陣，輸出strassen』s 矩陣乘法演算法結果。

數學定義的矩陣乘法演算法：利用三個for迴圈來解決，時間複雜度為o（n^3）。

數學定義的矩陣乘法演算法的核心**如下：

//公理：兩個矩陣相乘a*b，a的列數必等於b的行數。


int a[2][3] = ; 


int b[3][1] = ; 


for (int i = 0; i < 2; ++i) 


}
一般演算法需要八次乘法：

試試strassen』s 矩陣乘法演算法：

我們可以推出：

上面只有7次乘法和多次加減法，strassen』s 矩陣乘法演算法將其變成7次乘法。大家都知道乘法比加減法消耗更多的效能！所以，該演算法能將時間複雜度降低到o( n^lg7 ) = o( n^2.81 )。

**實現如下：（其中n必須為2的冪，這裡n=16）

#include using namespace std;


#define n


16//矩陣相加


void plus(int a[n / 2][n / 2], int b[n / 2][n / 2], int c[n / 2][n / 2])


}}//矩陣相減


void minus(int a[n / 2][n / 2], int b[n / 2][n / 2], int c[n / 2][n / 2])


}}//矩陣相乘


void multiply(int a[n / 2][n / 2], int b[n / 2][n / 2], int c[n / 2][n / 2])}}


}int main()


}int i[n / 2][n / 2], j[n / 2][n / 2], k[n / 2][n / 2], l[n / 2][n / 2];


int a[n / 2][n / 2], b[n / 2][n / 2], c[n / 2][n / 2], d[n / 2][n / 2];


int e[n / 2][n / 2], f[n / 2][n / 2], g[n / 2][n / 2], h[n / 2][n / 2];


int s1[n / 2][n / 2], s2[n / 2][n / 2], s3[n / 2][n / 2], s4[n / 2][n / 2];


int s5[n / 2][n / 2], s6[n / 2][n / 2], s7[n / 2][n / 2];


int t1[n / 2][n / 2], t2[n / 2][n / 2];


//將原矩陣m1、m2拆分為a b c


de f g h矩陣


for (i = 0; i < n / 2; i++)


}//s1 


minus(i, f, h);


multiply(s1, a, i);


//s2 


plus(i, a, b);


multiply(s2, i, h);


//s3 


plus(i, c, d);


multiply(s3, i, e);


//s4 


minus(i, g, e);


multiply(s4, d, i);


//s5 


plus(i, a, d);


plus(j, e, f);


multiply(s5, i, j);


//s6 


minus(i, b, d);


plus(j, g, h);


multiply(s6, i, j);


//s7 


minus(i, a, c);


plus(j, e, f);


multiply(s7, i, j);


//計算i j k l矩陣


//i = s5 + s4 - s2 + s6 


plus(t1, s5, s4);


minus(t2, t1, s2);


plus(i, t2, s6);


//j = s1 + s2 


plus(j, s1, s2);


//k = s3 + s4 


plus(k, s3, s4);


//l = s5 + s1 - s3 - s7 = s5 + s1 - ( s3 + s7 ) 


plus(t1, s5, s1);


plus(t2, s3, s7);


minus(l, t1, t2);


//將得到的i j k l矩陣合併到最終結果result矩陣中


int result[n][n] = ;


for (int i = 0; i < n / 2; i++)


}//輸出最終的矩陣


for (i = 0; i < n; ++i)


}cout << endl;


getchar();


return 0;


}
備註：由於博主時間問題，本**並未實現遞迴，也就是並未利用分治法拆分到最小單元再計算再合併，只是闡述了分治法解決該問題的思路，若要實現完整版**，我指明方法：

新建乙個遞迴函式，需將main()裡的部分**移到遞迴函式裡，並需修改遞迴函式裡的所有二維陣列的定義，例如：

int matrixa[n / 2][n / 2];


int matrixb[n / 2][n / 2];


int matrixc[n / 2][n / 2];
應該被修改為如下形式：

//n為遞迴函式傳入的引數


int** matrixa = new


int*[n];


int** matrixb = new


int*[n];


int** matrixc = new


int*[n];


for (int i = 0; i < n; i++)
用完new的二維陣列之後還要記得釋放記憶體，不然，在遞迴中，很容易產生記憶體洩漏：

for (int i = 0; i < n; i++)


delete a;


delete b;
遞迴函式的引數有n，matrixa，matrixb，matrixc

n用於傳遞矩陣維數。

matrixa矩陣就是上方**的m1矩陣。該題是求m1乘以m2矩陣，你就知道m1是什麼了。

matrixb矩陣就是上方**的m2矩陣。該題是求m1乘以m2矩陣，你就知道m2是什麼了。

matrixc矩陣用於記錄結果，最後輸出matrixc即是最終結果。

分治法實現的完整**，能輸出最終結果和每一次遞迴的s1~s7：

分治法 矩陣乘法

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