分治法和二分法的時間複雜度簡明分析

二分演算法，我們比較熟悉，時間複雜度是 o(logn)。 

分治演算法，時間複雜度是多少呢？大致是o(n)。

為什麼區別這麼大呢？因為二分是分治的乙個特殊情況，二分演算法是比較一次，直接扔掉不符合要求的那一半。分治不能這麼做，它只是做了劃分，並沒有減小問題規模。

注：因為分治演算法是個統稱，這裡的時間複雜度也只是個初略計算。

非常簡明的時間複雜度分析方法：

二分：通過o(1)的操作，將規模為 n 的問題變成了 n/2 的問題。 

即：t( n ) = t( n / 2 ) + o( 1 ) 

分治：通過o(1)的操作，將規模為 n 的問題變成了2個 n/2 的問題。 

即：t( n ) = 2 t( n / 2 ) + o( 1 ) 

區別：分治的問題規模並沒有變

對上面2個式子進行遞推：

t( n ) = t( n/2 ) + o( 1 ) 

t( n ) = t( n/4 ) + 2 o( 1 ) 

t( n ) = t( n/8 ) + 3 o( 1 ) 

… …[共 logn 次] 

… t( n ) = t( 1 ) + logn·o( 1 )

t( n ) = o(logn)

t( n ) = 2 t( n/2 ) + o( 1 ) 

t( n ) = 4 t( n/4 ) + 3 o( 1 ) 

t( n ) = 8 t( n/8 ) + 7 o( 1 ) 

… …[共 logn 次] 

… t( n ) = n t( 1 ) + (2 logn - 1)·o( 1 )

t( n ) = o(n)

log2(n

)。大o運算法則：

n * o( 1 ) = o( n ); 

c * o( n ) = o( n ); 【常數係數直接省略】 

o( cm ) + o( cn ) = o( cm ); 【常數相加取最大項】 

o( m ) * o( n ) = o( m * n);

注意理解t(n)和o(n)的區別： 

t(n)表示問題規模為 n 的時間複雜度，是乙個未知值的表示符號（代數式）; 

o(n)表示時間複雜度是o(n)，表示的就是乙個值，不是乙個代數式。只不過這個值是計算機演算法領域內的乙個值，表示成這個樣子也是比較奇葩。

原文計算的解釋

t( n ) = n t( 1 ) + (2 logn - 1)·o( 1 ) 

因為 t( 1 ) = o( 1 ) ; // 規模為1的問題的時間複雜度為o( 1 ) 

(2 logn - 1) ·o( 1 ) = o( logn ) 

所以 t( n ) = o( n ) + o( logn ) 

t( n ) = o(n)

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