定義: 設
a 是
n階方陣, 如果數
λ 和非零向量
x 使關係式 ax
=λx成立, 那麼,
λ 稱為方陣
a 的特徵值, 非零向量x稱為
a 的對應於特徵值
λ的特徵向量. 上式也可以寫為: (a
x−λe
)x=0
這個是n 個未知數和
n個方程的齊次線形方程組. 它有非零解的充要條件是, 係數行列式為0, 即: |a
−λe|
=0上面以
λ 為未知數的一元
n 次方程, 稱為方陣
a的特徵方程, 其行列式, 稱為方陣
a 的特徵多項式. 顯然
a的特徵值就是特徵多項式的解, 特徵方程在複數域內恆有解, 其個數為方程的次數, 因此
n 階方陣有
n個特徵值.
reference:
1. 線性代數 同濟大學數學教研室 高等教育出版社
特徵向量與特徵值
在看線性代數這一部分的時候，真是一頭霧水。雖然明白了特徵值和特徵向量的求法，但總覺得沒有用。在 理解矩陣 一文中，雖然提到了這與矩陣的本質有關，但並未詳細提及，但我知道了一定具有一定的幾何意義。後來，檢視了 特徵向量的幾何意義 一文，才明白了。特別是wikipedia中關於 特徵向量 的文章，終於對...
特徵值與特徵向量
我們知道，矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉 伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。實際上，上述的一段話既講...
特徵值與特徵向量
矩陣與向量的乘法可以理解為變換 投影，變換分為旋轉變換與伸縮變換，投影可以是低維向高維的投影，也可以是高維向低維的投影。因此，方陣與向量的乘法只有變換操作，乙個行數大於列數的矩陣與向量的乘法包含了變換以及維度的提高，乙個行數小於列數的矩陣與向量的乘法則是維數的降低。方陣的矩陣乘法對應了一種變換，將乙...