k svd字典學習

2021-08-14 10:30:59 字數 4066 閱讀 4663

k-svd字典學習

一、字典學習

字典學習也可簡單稱之為稀疏編碼,字典學習偏向於學習字典d。從矩陣分解角度,看字典學習過程:給定樣本資料集y,y的每一列表示乙個樣本;字典學習的目標是把y矩陣分解成d、x矩陣:

同時滿足約束條件:x盡可能稀疏,同時d的每一列是乙個歸一化向量。

d稱之為字典,d的每一列稱之為原子;x稱之為編碼向量、特徵、係數矩陣;字典學習可以有三種目標函式形式

(1)第一種形式:

這種形式因為l0難以求解,所以很多時候用l1正則項替代近似。

(2)第二種形式:

ε是重構誤差所允許的最大值。

(3)第三種形式:

l是乙個常數,稀疏度約束引數,上面三種形式相互等價。

因為目標函式中存在兩個未知變數d、x,k-svd是字典學習的一種經典演算法,其求解方法跟lasso差不多,固定其中乙個,然後更新另外乙個變數,交替迭代更新。

如果d的列數少於y的行數,就相當於欠完備字典,類似於pca降維;如果d的列數大於y的行數,稱之為超完備字典;如果剛好等於,那麼就稱之為完備字典。

二、k-svd字典學習演算法概述

給定訓練資料y,y的每一列表示乙個樣本,我們的目標是求解字典d的每一列(原子)。k-svd演算法,個人感覺跟k-means差不多,是k-means的一種擴充套件,字典d的每一列就相當於k-means的聚類中心。其實球面k-means也是一種特殊的稀疏編碼(具體可參考文獻《learning feature representations with k-means》),只不過k-means的編碼矩陣x是乙個高度稀疏的矩陣,x的每一列就只有乙個非零的元素,對應於該樣本所歸屬的聚類中心;而稀疏編碼x的每一列允許有幾個非零元素。

1、隨機初始化字典d(類似k-means一樣初始化)

從樣本集y中隨機挑選k個樣本,作為d的原子;並且初始化編碼矩陣x為0矩陣。

2、固定字典,求取每個樣本的稀疏編碼

編碼過程採用如下公式:

ε是重構誤差所允許的最大值。

假設我們的單個樣本是向量y,為了簡單起見我們就假設原子只有這4個,也就是字典d=[α1、α2、α3、α4],且d是已經知道的;我們的目標是計算y的編碼x,使得x盡量的稀疏。

(1)首先從α1、α2、α3、α4中找出與向量y最近的那個向量,也就是分別計算點乘:

α1*y、α2*y、α3*y、α4*y

然後求取最大值對應的原子α。

(2)假設α2*y最大,那麼我們就用α2,作為我們的第乙個原子,然後我們的初次編碼向量就為:

x1=(0,b,0,0)

b是乙個未知引數。

(3)求解係數b:

y-b*α2=0

方程只有乙個未知引數b,是乙個高度超靜定方程,求解最小二乘問題。

(4)然後我們用x1與α2相乘重構出資料,然後計算殘差向量:

y』=y-b*α2

如果殘差向量y』滿足重構誤差閾值範圍ε,那麼就結束,否則就進入下一步;

(5)計算剩餘的字典α1、α3、α4與殘差向量y』的最近的向量,也就是計算

α1*y』、α3*y』、α4*y』

然後求取最大值對應的向量α,假設α3*y』為最大值,那麼就令新的編碼向量為:

x2=(0,b,c,0)

b、c是未知引數。

(6)求解係數b、c,於是我們可以列出方程:

y-b*α2-c*α3=0

方程中有兩個未知引數b、c,我們可以進行求解最小二乘方程,求得b、c。

(7)更新殘差向量y』:

y』=y-b*α2-c*α3

如果y』的模長滿足閾值範圍,那麼就結束,否則就繼續迴圈,就這樣一直迴圈下去。

3、逐列更新字典、並更新對應的非零編碼

通過上面那一步,我們已經知道樣本的編碼。接著我們的目標是更新字典、同時還要更新編碼。k-svd採用逐列更新的方法更新字典,就是當更新第k列原子的時候,其它的原子固定不變。假設我們當前要更新第k個原子αk,令編碼矩陣x對應的第k行為xk,則目標函式為:

上面的方程,我們需要注意的是xk不是把x一整行都拿出來更新(因為xk中有的是零、有的是非零元素,如果全部抽取出來,那麼後面計算的時候xk就不再保持以前的稀疏性了),所以我們只能抽取出非零的元素形成新的非零向量,然後ek只保留xk對應的非零元素項。

上面的方程,我們可能可以通過求解最小二乘的方法,求解αk,不過這樣有存在乙個問題,我們求解的αk不是乙個單位向量,因此我們需要採用svd分解,才能得到單位向量αk。進過svd分解後,我們以最大奇異值所對應的正交單位向量,作為新的αk,同時我們還需要把係數編碼xk中的非零元素也給更新了(根據svd分解)。

然後演算法就在1和2之間一直迭代更新,直到收斂。

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#更新字典第k列,phi為字典,y為樣本集、sparse為上面稀疏編碼矩陣x

def dict_update(phi, matrix_y, matrix_sparse, k):  

indexes = np.where(matrix_sparse[k, :] != 0)[0]#取出稀疏編碼中,第k行不為0的列的索引

phi_temp = phi  

sparse_temp = matrix_sparse  

if len(indexes) > 0:  

phi_temp[:, k][:] = 0

#把即將更新的字典的第k列先給設定為0

matrix_e_k = matrix_y[:, indexes] - phi_temp.dot(sparse_temp[:, indexes])#取出樣本資料中,字典第k列有貢獻的值,並求ek

u, s, v = svds(np.atleast_2d(matrix_e_k), 1)  

phi_temp[:, k] = u[:, 0]  

sparse_temp[k, indexes] = np.asarray(v)[0] * s[0]  

return phi_temp, sparse_temp  

#更新字典第k列,phi為字典,y為樣本集、sparse為上面稀疏編碼矩陣x

def dict_update(phi, matrix_y, matrix_sparse, k):

indexes = np.where(matrix_sparse[k, :] != 0)[0]#取出稀疏編碼中,第k行不為0的列的索引

phi_temp = phi

sparse_temp = matrix_sparse

if len(indexes) > 0:

phi_temp[:, k][:] = 0#把即將更新的字典的第k列先給設定為0

matrix_e_k = matrix_y[:, indexes] - phi_temp.dot(sparse_temp[:, indexes])#取出樣本資料中,字典第k列有貢獻的值,並求ek

u, s, v = svds(np.atleast_2d(matrix_e_k), 1)

phi_temp[:, k] = u[:, 0]

sparse_temp[k, indexes] = np.asarray(v)[0] * s[0]

return phi_temp, sparse_temp

1、《learning feature representations with k-means》

2、restauration parcimonieuse d』unsignal multidimensionnel :algorithme k-svd

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