當前，國家要求加強基礎研究，全國普通高校「國標」數學教材關於微分概念定義有誤，影響極壞，不得不批。
5年前，老翁發文客客氣氣地「思考」這個問題，現在不用客氣了。
袁萌 2月27日
附： 關於函式增量(δy)與微分（dy）的思考 (此文於2013-07-28發表)
7月28日，j. keisler《基礎微積分》的第2.1節導數、第2.2節微分與切線、第2.3節有理函式的導數、第2.4節反函式和第2.5節超越函式已經上傳網際網路完畢有感。
在傳統微積分學裡面，有乙個著名的公式：
（*） δy =aδx + o（δx)
在（*）式中，a是乙個常數。「o（δx)」這一項是什麼意思呢？「十一五」國家級規劃教材宣稱：「o（δx)」是所謂「高階無窮小」（在δx →0條件下）。也就是說，在δx →0條件下，o（δx)/δx →0。此時，將表示式aδx定義為函式y在x處的微分。
我們問：（*）式成立與否是不是一定要以」δx →0「為前提？當然不需要這一前提條件。但是，「十一五」國家級規劃教材同濟大學《高等數學》則不認為是這樣的，在微分定義中，編者繫結了前提條件」δx →0「，多年來，培育出不少小糊塗蟲。
在第2.2節微分與切線裡面，j. keisler給出函式微分定義如下：
definition
suppose y dependson x, y=f(x).
(i) the differential ofx is the independent variable dx =δx.
(ii) the differential ofy is the dependent variable dy given by
dy = f′(x)dx.
when dx≠ 0, the equationabove may be rewritten as
dy/dx = f』(x)
在《無窮小微積分基礎》教學輔導電子書裡面，j. keisler給出了該定義與（*）式等價的證明。在超實數*r裡面，函式的微分原來就是無窮小表示式f'(x)dx，兩個無窮小dy與dx之比等於函式在該處的導數f'(x)。微分是什麼函式增量的「線性主部」說教統統不要了。
在超實數*r世界裡面，我們的思維可以自由飛翔。在其背後有嚴格的數學鏈條牢牢地鉚釘在傳統微積分本體之上。反對無窮小微積分就是挑戰傳統微積分，只有現代唐吉歌徳先生才會幹這種傻事情。我們不斷地轉錄、上傳這些無窮小微積分的文字、資料，就是希望它們能夠長時間地釋放能量，把無窮小方法滲透進學生們的腦殼中，使其終生受益。無窮小是數數學家的一項偉大智慧型發明，完善了微積分學的概念體系。（全文完）
袁萌 2023年7月28日
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