嗯，今天是快速冪專題。
相信大家應該都會求冪，即求a^n.那麼這個東西有什麼可講的呢？當然有！樸素的冪計算複雜度是o(n)的，而我們的快速冪則能夠達到o(logn)級別。可能你會覺得線性複雜度已經夠快了，但是在實際應用中，你就會發現快速冪的高效之處。
那什麼是快速冪呢？
快速冪就是在計算a的b次方的時候，把b寫成二進位制和的形式。
比如說計算a^43,我們就可以把43寫成二進位制數101011，每一位乘以對應的權值，就變成了a^(2^0+2^1+2^3+2^5).
那麼這麼做有什麼好處呢？我們的迴圈從原來的43次降為log(43)次，每次不再是n-=1而是n>>=1.這樣就能大大降低複雜度了。
快速冪一般還可以搭配矩陣使用，成為矩陣快速冪。
我們在做矩陣乘法運算的時候，首先有個前提，就是矩陣a的列與矩陣b的行必須相同才能進行乘法運算。最後的結果c的行數等於a的行數，c的列數等於b的列數。c中某個元素等於a對應行向量與b對應列向量乘積之和。這種演算法的時間複雜度為o(n^3).
實際上，在clrs裡，介紹了一種o(n^2.81)複雜度的矩陣乘法，即strassen演算法，它的原理是利用分治，將矩陣分塊，再計算分塊矩陣的乘積，最後合併，在這兒不是重點表過不提，感興趣的可以去看一下。
我們今天要將的是如何求矩陣的冪。我們可以很清楚地看到，如果用樸素矩陣乘法，複雜度會很令人厭惡，所以我們運用快速冪思想，將這個問題轉化成了快速冪問題。矩陣快速冪有很多應用，例如給dp加速之類的，這兒我們講乙個最簡單的應用。
想必大家都知道斐波那契數列（fibonacci sequence）吧！她是數學史上最著名的數列之一，有著許多有趣的性質。那我們怎麼計算第n項斐波那契數列是多少呢？我們至少有四種辦法可以計算。
最樸素的計算方法就是遞迴計算。由於斐波那契數列的遞推式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>2)，所以我們可以遞迴計算f(n).但是這種方法的時間複雜度高達o(2^n),是無論如何不可能接受的。
我們可以使用非遞迴形式計算遞推式，只要寫乙個一重迴圈就可以了。這種方法是線性複雜度，但仍不夠好。
我們擁有乙個常數複雜度的方法，就是計算它的通項公式。我們用特徵方程與特徵根求出通項公式直接計算，就可以把複雜度壓縮到o(1),但是有個問題，這個整數數列的通項公式裡含有大量的無理數，n一旦變大之後會對精度造成影響。
最後一種自然就是我們的矩陣快速冪。我們可以構造如下的矩陣遞推式：
|fn+1 fn | | 1 1 |^n
= |fn fn-1| | 1 0 |
這時候用到我們的矩陣快速冪就可以了。**如下：
#include#include#include#include#includeusing namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e4;
struct mat;
mat mul(mat x,mat y)//矩陣乘法
void quickpow(int n)//快速冪
cout<>n)
return 0;
}
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