B 樹 B 樹 B 樹和B 樹

2021-08-18 10:30:41 字數 3638 閱讀 6335

b樹

即二叉搜尋樹:

1. 所有非葉子結點至多擁有兩個兒子(

left

和right

);2. 所有結點儲存乙個關鍵字;

3. 非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的子樹,右指標指向大於其關鍵字的子樹;

如:

b樹的搜尋,從根結點開始,如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等,那麼就命中;否則,如果查詢關鍵字比結點關鍵字小,就進入左兒子;如果比結點關鍵字大,就進入右兒子;如果左兒子或右兒子的指標為空,則報告找不到相應的關鍵字;

如果b樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多(平衡),那麼

b樹的搜尋效能逼近二分查詢;但它比連續記憶體空間的二分查詢的優點是,改變

b樹結構(插入與刪除結點)不需要移動大段的記憶體資料,甚至通常是常數開銷;

如:

但b樹在經過多次插入與刪除後,有可能導致不同的結構:

右邊也是乙個b

樹,但它的搜尋效能已經是線性的了;同樣的關鍵字集合有可能導致不同的樹結構索引;所以,使用

b樹還要考慮盡可能讓

b樹保持左圖的結構,和避免右圖的結構,也就是所謂的「平衡

」問題;

實際使用的b

樹都是在原

b樹的基礎上加上平衡演算法,即

「平衡二叉樹

」;如何保持

b樹結點分布均勻的平衡演算法是平衡二叉樹的關鍵;平衡演算法是一種在

b樹中插入和刪除結點的策略;

b-樹是一種多路搜尋樹(並不是二叉的):

1. 定義任意非葉子結點最多只有

m個兒子;且

m>2

;2. 根結點的兒子數為

[2, m]

;3. 除根結點以外的非葉子結點的兒子數為

[m/2, m]

;4. 每個結點存放至少

m/2-1

(取上整)和至多

m-1個關鍵字(至少

2個關鍵字);

5. 非葉子結點的關鍵字個數

=指向兒子的指標個數-1;

6. 非葉子結點的關鍵字:

k[1], k[2], 

…, k[m-1]

;且k[i] 

;7. 非葉子結點的指標:

p[1], p[2], 

…, p[m]

;其中p[1]

指向關鍵字小於

k[1]

的子樹,

p[m]

指向關鍵字大於

k[m-1]

的子樹,其它

p[i]

指向關鍵字屬於

(k[i-1], k[i])

的子樹;

8. 所有葉子結點位於同一層;

如(m=3

b-樹的搜尋,從根結點開始,對結點內的關鍵字(有序)序列進行二分查詢,如果命中則結束,否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點;重複,直到所對應的兒子指標為空,或已經是葉子結點;

b-樹的特性:

1. 關鍵字集合分布在整顆樹中;

2. 任何乙個關鍵字出現且只出現在乙個結點中;

3. 搜尋有可能在非葉子結點結束;

4. 其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢;

5. 自動層次控制;

由於限制了除根結點以外的非葉子結點,至少含有m/2

個兒子,確保了結點的至少利用率,其最底搜尋效能為:

其中,m

為設定的非葉子結點最多子樹個數,

n為關鍵字總數;

所以b-

樹的效能總是等價於二分查詢(與

m值無關),也就沒有

b樹平衡的問題;

由於m/2

的限制,在插入結點時,如果結點已滿,需要將結點**為兩個各佔

m/2的結點;刪除結點時,需將兩個不足

m/2的兄弟結點合併;

b+樹b+樹是

b-樹的變體,也是一種多路搜尋樹:

1. 其定義基本與

b-樹同,除了:

2. 非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同;

3. 非葉子結點的子樹指標

p[i]

,指向關鍵字值屬於

[k[i], k[i+1])

的子樹(

b-樹是開區間);

5. 為所有葉子結點增加乙個鏈指標;

6. 所有關鍵字都在葉子結點出現;

如(m=3

b+的搜尋與

b-樹也基本相同,區別是

b+樹只有達到葉子結點才命中(

b-樹可以在非葉子結點命中),其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢;

b+的特性:

1. 所有關鍵字都出現在葉子結點的鍊錶中(稠密索引),且鍊錶中的關鍵字恰好是有序的;

2. 不可能在非葉子結點命中;

3. 非葉子結點相當於是葉子結點的索引(稀疏索引),葉子結點相當於是儲存(關鍵字)資料的資料層;

4. 更適合檔案索引系統;

b*樹是b+

樹的變體,在

b+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標:

b*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為

(2/3)*m

,即塊的最低使用率為

2/3(代替

b+樹的

1/2);

b+樹的**:當乙個結點滿時,分配乙個新的結點,並將原結點中

1/2的資料複製到新結點,最後在父結點中增加新結點的指標;

b+樹的**只影響原結點和父結點,而不會影響兄弟結點,所以它不需要指向兄弟的指標;

b*樹的**:當乙個結點滿時,如果它的下乙個兄弟結點未滿,那麼將一部分資料移到兄弟結點中,再在原結點插入關鍵字,最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字(因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了);如果兄弟也滿了,則在原結點與兄弟結點之間增加新結點,並各複製

1/3的資料到新結點,最後在父結點增加新結點的指標;

所以,b*

樹分配新結點的概率比

b+樹要低,空間使用率更高;

小結b樹:二叉樹,每個結點只儲存乙個關鍵字,等於則命中,小於走左結點,大於走右結點;

b-樹:多路搜尋樹,每個結點儲存

m/2到

m個關鍵字,非葉子結點儲存指向關鍵字範圍的子結點;

所有關鍵字在整顆樹中出現,且只出現一次,非葉子結點可以命中;

b+樹:在

b-樹基礎上,為葉子結點增加鍊錶指標,所有關鍵字都在葉子結點中出現,非葉子結點作為葉子結點的索引;

b+樹總是到葉子結點才命中;

b*樹:在

b+樹基礎上,為非葉子結點也增加鍊錶指標,將結點的最低利用率從

1/2提高到

2/3;

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