順應之前《程式設計師如何學數學》的指導思想，買了不少比較輕鬆的數學科普書，《the joy of x》就是其中之一。閒來無事隨手拿起，沒想到卻基本讀完了。看似不起眼的一本小書，內容的編排、文筆的輕鬆令人嘆為觀止。有的章節讓人覺得精妙無比，有的章節又扣人心懸。本文就簡單地加以整理，稍微打亂了原書的順序，按照邏輯關係重新組織，希望能讓更多的人發現這本好書。
有一句經典名言：「上帝」。我們對數字習以為常，可是乙個初學的小孩子可能會發覺這並不是乙個簡單的學習過程。因為數字是如此萬能、如此抽象，每個數字背後都能概括無數的現實世界中的物品。一旦決定了數字的含義，它們遵循的法則、屬性、組合方式則完全不受我們控制。我們能做的只有安靜地欣賞，並試圖去理解。
學習算術時，一條最基本的規律就是交換律。我們對此習以為常，卻有時也犯糊塗。比如在商場購物或其他日常活動時（北美這邊是單獨計算消費稅的），可能售貨員會說：我先幫你把稅加上，然後在整體打個八折怎麼樣？這樣能幫你多省點錢。其實如果我們簡單地思考就會發現，最終要付的價錢是一系列乘法所得，而乘數的順序並不影響結果，即遵守交換律。
而現實生活中的其他決策，交換律卻那麼管用，做事的順序至關重要。書中說到一位物理學家因為沒被最想去的學校錄取而想要自殺，但最終他還是去了「不那麼滿意」的mit，因為入學與自殺不符合交換律。他可以入學後隨時自殺，卻不能反過來做。在量子物理中發現，大自然在最深處也是不遵守交換律的。
我們對現在通用的阿拉伯數字和寫法習以為常，然後其中卻蘊含了天才的設計。在其他數字系統如羅馬數字，一、五、十到一千都有不同的符號表示。書寫數字時，就是看它能由多少個這些符號組成，從最大的一千開始到最小的一。這種想法很自然，我們不斷從乙個數字中刨去這些基本單位，邊做減法邊記下，最後我們就得到了這個數字的寫法。
但這種方法在書寫非常大的數字時就變得非常笨拙，在做四則運算時同樣需要複雜的規則來支撐。再看看我們今天記數法，基本單位只有0到9，所以位置變得至關重要。同樣的1放在不同的位上則最終數字大小完全不同。基於這種位置系統，普通人也能夠快速掌握四則運算。於是自動化計算過程就變得很自然。這裡還有一位無名英雄——0。0作為佔位符，這個聰明的想法讓區分1、10、100成為可能。
數字是一切的基礎，而質數就是原子。因為質數不可再分，並且質數間組合能夠形成任何數字。所以數學家對數論著迷，不是因為質數在計算機加密學中的應用，而是它如此基礎、如此純粹。在質數的世界中，我們對相鄰的質數，如11和13、15和17，取名叫做孿生質數（twin prime）。數學家們發現它們總是成對出現並且中間相隔乙個數字（因為質數/奇數加一就變成非質數/偶數了？）這一對對的孿生質數引起了數學家的興趣，於是他們用計算機算出了已知的最大數字的一對，它們有10萬位以上！而且質數還有乙個規律就是：隨著我們搜尋範圍的擴大，質數越來越稀少。於是，這一對兒「觸不到的戀人」就這樣相依在無盡的黑暗中，卻無法觸碰。彷彿《星際穿越》中迷失在宇宙中的男主一樣，湮沒在了廣袤的超出我們想象的數軸上。
幾何的歷史可能比數字的更為悠久，人們喜愛幾何，因為它邏輯與直覺兼備，需要左右腦共同使用。比如證明畢達哥拉斯定理，即直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。一種圖形化的證明方法就是證明三個正方形面積之間的關係，因為每條邊的平方都可以看作是乙個正方形的面積。因為時間關係沒法在這引入那麼多，感興趣的同學可以自行查資料。這種經典的幾何證明方式，與其說是證明給你看，不如說是展示給你看，讓你無法懷疑其正確性。
數字是一切的基礎，基於完善的數字系統。之後的漫長歷史中，數學家們不斷添磚加瓦，在其上構建起了令人嘆為觀止的抽象概念。這也是為什麼學習現代數學這麼難，因為當你看到乙個公式時，其精煉的程度是超乎想象的。當我們閱讀**時，尤其是關鍵部分或高層次上的**時，我們也會慢下來仔細讀，不管去找高層概念對應的底層流程是什麼。數學公式則更甚，我們甚至要以厘公尺每小時的速度去理解背後的含義。
在第一節自然數中說到了自然數是上帝的傑作。我們在研究數學物件時，只是發明了一系列概念，接下來的一切只不過是不斷地發現這些概念的性質和關係，並用嚴格的證明來印證。一旦我們決定了乙個概念的定義和意義後，冰冷的邏輯讓我們別無選擇。比如一旦我們定義了數字6和加號後，6+6的結果和含義不受我們控制。邏輯讓我們只能得出12的結果。曾經覺得無比厲害的數學家，在這一刻，在無言的宇宙規律面前，也只能黯然神傷。
在前面第1.4節數論中，有一點故意留到現在才提，就是概念定義的人為性。前面說到數學家發明概念，可能單單這一句還不是很清楚。在數論中，1符合質數的定義，然後數學家卻將其排除在外，因為如果1是質數的，好多推導出的定理就不是對所有質數都成立了。於是，數學家們安詳操縱了質數的概念，我們主宰這一切，從而得到了自己想要的結論。那麼數學是客觀的真理，還是主觀的創造呢？：）
書中提到了乙個很簡單的浴缸放水問題：「有乙個浴缸，單獨開涼水管灌滿要30分鐘，單獨開熱水管灌滿要60分鐘，問題兩個水龍頭一起開要多久才能灌滿？」有乙個很**人又離譜的答案就是45分鐘，兩者速度的平均值。然而細想一下：單開涼水龍頭只需30分鐘，開兩個水龍頭怎麼可能更慢了呢？
從這可以看出，這種現實中的文字問題，或者我們小時候叫的應用題，並不簡單，因為它反映了數字之間的關係。數字間的關係比數字本身更為抽象，然而也更為強大，因為它反映了現實世界的內在邏輯關係。這裡我們就可以用數學建模來簡化現實世界中的問題。首先通過假設極端情況得出解的範圍，再簡化問題，增加更多假設，直到得到乙個可以研究的數學模型。
抽象代數的一大貢獻就是將數字的規律提公升到任意系統，即所謂的群（group）。如果乙個數字集合上的某些運算，都符合乙個規律，那麼我們就將其抽象成一種群。聽起來是不是有點像資料結構或者抽象資料型別（adt），圍繞乙個資料集合，提供了一些增刪改查的操作，於是整體打包作為乙個介面/概念反覆重用。通過泛型程式設計，又能實現資料集合裡有時是整數，有時是字元，有時又是更複雜的自定義物件。而抽象代數中的抽象結構則是數學家手中的工具，不斷地被重用。
前面說到了歐式幾何，歐幾里德的公理系統令人驚嘆。其後的兩千多年來，不論是計算機程式設計，還是其他各種科學、工程、法律，無不效仿著這套嚴密的邏輯系統。人們感嘆邏輯思維在證明中的強大，卻因此忽視了圖形在證明中的作用。就如文學家如何覓得優雅的詞彙，作曲家如何找尋美妙的旋律等創造性藝術一樣，數學家也需要邏輯外的元素提供證明什麼、如何開始等靈感。
書中給出乙個經典的問題：給定乙個線段，用尺規做圖得到乙個等邊三角形。這是一片法外之地，邏輯幫不了你什麼，因為你根本不知道該如何開始，**要用邏輯。這是精神癱瘓的時刻…… 但當你以線段為半徑，分別以兩端為圓心用圓規畫出兩個圓時，一切就都明朗了。現在是邏輯接管的時刻，而證明也躍然紙上，朝著你走來。
前兩章談到的數和方法是數學這門學科的根基，而這一部分要說的無窮和概率，則更多地是思想上的轉變。有人說，數學是其他學科的工具，那麼哲學就是數學的工具。不是像前面你會不會那些基礎知識的問題，這一部分是關於你信不信。
之前不了解的話可能會覺得難以置信，阿基公尺德最早掌握了極限的思想，利用所謂的逼近法求出各種面積和體積，其中乙個經典而容易理解的就是圓的面積。阿基公尺德首先將圓通過圓心切成等大的四塊，然後拼接在一起，形成乙個類似平行四邊形的圖形。上下邊是之前圓的周長，所有各為pi×r。同樣的切法和拼法，如果將圓切成無數條的話，這個形成的圖形就越來越趨近於長方形。於是自然地，圓的面積就是pi×r平方。厲害！於是後人繼續深入研究這種思想，築建起了微積分的巨集偉大廈。
差分等式描述了隨時都在變化的變數之間是如何根據當前的值聯絡的。在牛頓後的幾乎350年間，人們發現幾乎物理學中的所有定律都可以用差分等式來描述，從流體到電磁到甚至量子力學。牛頓解決了二體問題，卻被三體問題難倒了。讀過大劉的《三體》**的同學大概有印象，三體星人科技高度發達，然而卻對頭頂上的三個太陽無能為力，任其沒有規律的活動，周而復始地「縮水」再「吸水」復活。後來被證實，三體的行為是無法**的。
不知道是不是所有都發現了，至少一開始本人愚蠢地忽略了末尾四十多頁的筆記部分。讓人沒想到的是，這部分與正文一樣價值連城。這部分筆記對正文的部分內容擴充套件，並且推薦了不少閱讀資料。覺得還不進行的話，可以挑感興趣的話題，找其他資料繼續深入學習。如果不想太嚴肅，就挑作者推薦的輕鬆科普的資料。比如數論那一部分寫得非常優美，於是根據筆記部分的指引又買了《prime obsession》（以及自己挑的《the code book》）。差分等式那一章也很有意思，於是又買了《the calculus gallery》。
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