posted on 2023年5月24日
by jinchao
最近在工作中遇到這麼乙個問題：
在遊戲場景中有乙個怪物生成點，這個生長點產生的怪物均勻分布在半徑為r的圓形內，這個隨機演算法應該如何生成？看起來很簡單，隨手寫了乙個：
#define
rand
((float
)rand()/
rand_max
)void
get_random_pos
(float
center_x
, float
center_y
, float
radius
, float&x
, float& y
) 但寫的過程中，直覺告訴我，這麼寫肯定是有問題的，試想，如果以北京為例，如果所有居住在北京的人都報出自己家和天安門的距離，那麼這些資料肯定不是均勻分布的，因為居住在五環附近的人數肯定要大於居住在二環附近的人數，於是用mathamatica實驗一下：
果然，這麼寫是不對的，網上查了一下，這個問題還真是有人研究過，說應該把所獲得的隨機數開平方一下，實驗一下：
但是，這個開平方背後的數學原理究竟是什麼呢？抽空翻了下概率書，原來，其中的道理並不複雜，這裡涉及到概率裡的乙個基本概念，累計分布函式（cumulative distribution function），簡稱cfd，它的定義如下：
設有乙個隨機變數x
，它的取值範圍是從負無窮到正無窮，如果把它的值小於x
的概率表達為乙個函式f(x
)，那麼這個函式就稱為x
的累計分布函式f(
x)=p
(x≤x
) 以最為常見的均勻分布概率為例，設均勻分布的隨機變數x
的取值範圍是[a,
b]，那麼它的累計分布函式以及函式影象是f(
對於乙個累計分布函式，符合以下規律
回到我們的問題中，假設怪物產生的範圍的半徑為r
，隨機產生乙隻怪物時，它和中心的距離是乙個隨機變數x
，顯然，對於怪物均勻分布的情況，x
落在半徑為x
的圓內的概率，等於半徑為x
小圓和半徑為x
的大圓的面積之比
也就是說f(
x)=p
(x≤x
)=x2
/r2
現在我們手頭上只有均勻概率的隨機數產生器，要想產生這麼個隨機數需要用到乙個很巧妙的運算，就是反函式。設隨機變數
u是乙個均勻分布在[0,1]之間的隨機數，另乙個隨機變數 x=
f−1(
u),現在我們需要證明
x的累計分布函式是 f(
x)證明如下 p
(x≤x
)=p(
f−1(
u)≤x
)=p(
u≤f(
x))=
f(x)
初看起來有點複雜，其實在下面的圖上可以很直觀的理解這個過程：
這是利用了 f(
x)是單調遞增函式的特性，在我們的問題中， f(
x)的反函式可以表達為 f
−1(u
)=ru
−−√
所以最終的演算法可以寫成
#define
rand
((float
)rand()/
rand_max
)void
get_random_pos
(float
center_x
, float
center_y
, float
radius
, float&x
, float& y
) tagged 數學, 程式, 演算法
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