理解條件熵

1  資訊熵以及引出條件熵

我們首先知道資訊熵是考慮該隨機變數的所有可能取值，即所有可能發生事件所帶來的資訊量的期望。公式如下：

我們的條件熵的定義是：定義為x給定條件下，y的條件概率分布的熵對x的數學期望

這個還是比較抽象，下面我們解釋一下：

設有隨機變數（x,y），其聯合概率分布為 

條件熵h（y|x）表示在已知隨機變數x的條件下隨機變數y的不確定性。

隨機變數x給定的條件下隨機變數y的條件熵h(y|x)

2  公式

下面推導一下條件熵的公式：

3  注意

注意，這個條件熵，不是指在給定某個數（某個變數為某個值）的情況下，另乙個變數的熵是多少，變數的不確定性是多少？而是期望！

因為條件熵中x也是乙個變數，意思是在乙個變數x的條件下（變數x的每個值都會取），另乙個變數y熵對x的期望。

這是最容易錯的！

4  例子

下面通過例子來解釋一下：

假如我們有上面資料：

設隨機變數y=

我們可以統計出，嫁的個數為6/12 = 1/2

不嫁的個數為6/12 = 1/2

那麼y的熵，根據熵的公式來算，可以得到h（y） =  -1/2log1/2 -1/2log1/2

為了引出條件熵，我們現在還有乙個變數x，代表長相是帥還是帥，當長相是不帥的時候，統計如下紅色所示：

可以得出，當已知不帥的條件下，滿足條件的只有4個資料了，這四個資料中，不嫁的個數為1個，佔1/4

嫁的個數為3個，佔3/4

那麼此時的h（y|x = 不帥） = -1/4log1/4-3/4log3/4

p(x = 不帥) = 4/12 = 1/3

同理我們可以得到：

當已知帥的條件下，滿足條件的有8個資料了，這八個資料中，不嫁的個數為5個，佔5/8

嫁的個數為3個，佔3/8

那麼此時的h（y|x = 帥） = -5/8log5/8-3/8log3/8

p(x = 帥) = 8/12 = 2/3

5  計算結果

有了上面的鋪墊之後，我們終於可以計算我們的條件熵了，我們現在需要求：

h（y|x = 長相）

也就是說，我們想要求出當已知長相的條件下的條件熵。

根據公式我們可以知道，長相可以取帥與不帥倆種

條件熵是另乙個變數y熵對x（條件）的期望。

公式為：

h（y|x=長相） = p(x =帥)*h（y|x=帥）+p(x =不帥)*h（y|x=不帥）

然後將上面已經求得的答案帶入即可求出條件熵！

這裡比較容易錯誤就是忽略了x也是可以取多個值，然後對其求期望！！

6  總結

其實條件熵意思是按乙個新的變數的每個值對原變數進行分類，比如上面這個題把嫁與不嫁按帥，不帥分成了倆類。

然後在每乙個小類裡面，都計算乙個小熵，然後每乙個小熵乘以各個類別的概率，然後求和。

我們用另乙個變數對原變數分類後，原變數的不確定性就會減小了，因為新增了y的資訊，可以感受一下。不確定程度減少了多少就是資訊的增益。

通俗理解條件熵

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