Dijkstra最短路演算法

上週我們介紹了神奇的只有五行的floyd最短路演算法，它可以方便的求得任意兩點的最短路徑，這稱為「多源最短路」。本週來來介紹指定乙個點（源點）到其餘各個頂點的最短路徑，也叫做「單源最短路徑」。例如求下圖中的1號頂點到2、3、4、5、6號頂點的最短路徑。

與floyd-warshall演算法一樣這裡仍然使用二維陣列e來儲存頂點之間邊的關係，初始值如下。

我們還需要用乙個一維陣列dis來儲存1號頂點到其餘各個頂點的初始路程，如下。

我們將此時dis陣列中的值稱為最短路的「估計值」。

既然是求1號頂點到其餘各個頂點的最短路程，那就先找乙個離1號頂點最近的頂點。通過陣列dis可知當前離1號頂點最近是2號頂點。當選擇了2號頂點後，dis[2]的值就已經從「估計值」變為了「確定值」，即1號頂點到2號頂點的最短路程就是當前dis[2]值。為什麼呢？你想啊，目前離1號頂點最近的是2號頂點，並且這個圖所有的邊都是正數，那麼肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得1號頂點到2號頂點的路程進一步縮短了。因為1號頂點到其它頂點的路程肯定沒有1號到2號頂點短，對吧o(∩_∩)o~

既然選了2號頂點，接下來再來看2號頂點有哪些出邊呢。有2->3和2->4這兩條邊。先討論通過2->3這條邊能否讓1號頂點到3號頂點的路程變短。也就是說現在來比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1號頂點到3號頂點的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1號頂點到2號頂點的路程，e[2][3]表示2->3這條邊。所以dis[2]+e[2][3]就表示從1號頂點先到2號頂點，再通過2->3這條邊，到達3號頂點的路程。

我們發現dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新為10。這個過程有個專業術語叫做「鬆弛」。即1號頂點到3號頂點的路程即dis[3]，通過2->3這條邊鬆弛成功。這便是dijkstra演算法的主要思想：通過「邊」來鬆弛1號頂點到其餘各個頂點的路程。

同理通過2->4（e[2][4]），可以將dis[4]的值從∞鬆弛為4（dis[4]初始為∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新為4）。

剛才我們對2號頂點所有的出邊進行了鬆弛。鬆弛完畢之後dis陣列為：

接下來，繼續在剩下的3、4、5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點。通過上面更新過dis陣列，當前離1號頂點最近是4號頂點。此時，dis[4]的值已經從「估計值」變為了「確定值」。下面繼續對4號頂點的所有出邊（4->3，4->5和4->6）用剛才的方法進行鬆弛。鬆弛完畢之後dis陣列為：

繼續在剩下的3、5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點，這次選擇3號頂點。此時，dis[3]的值已經從「估計值」變為了「確定值」。對3號頂點的所有出邊（3->5）進行鬆弛。鬆弛完畢之後dis陣列為：

繼續在剩下的5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點，這次選擇5號頂點。此時，dis[5]的值已經從「估計值」變為了「確定值」。對5號頂點的所有出邊（5->4）進行鬆弛。鬆弛完畢之後dis陣列為：

最後對6號頂點所有點出邊進行鬆弛。因為這個例子中6號頂點沒有出邊，因此不用處理。到此，dis陣列中所有的值都已經從「估計值」變為了「確定值」。

最終dis陣列如下，這便是1號頂點到其餘各個頂點的最短路徑。

ok，現在來總結一下剛才的演算法。演算法的基本思想是：每次找到離源點（上面例子的源點就是1號頂點）最近的乙個頂點，然後以該頂點為中心進行擴充套件，最終得到源點到其餘所有點的最短路徑。基本步驟如下：

完整的dijkstra演算法**如下：

#include int main()
//初始化dis陣列，這裡是1號頂點到其餘各個頂點的初始路程
for(i=1;i<=n;i++)
dis[i]=e[1][i];
//book陣列初始化
for(i=1;i<=n;i++)
book[i]=0;
book[1]=1;
//dijkstra演算法核心語句
for(i=1;i<=n-1;i++)}}
//輸出最終的結果
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
getchar();
getchar();
return 0;
}

可以輸入以下資料進行驗證。第一行兩個整數n m。n表示頂點個數（頂點編號為1~n），m表示邊的條數。接下來m行表示，每行有3個數x y z。表示頂點x到頂點y邊的權值為z。

6 9 1 2 1 1 3 12 2 3 9 2 4 3 3 5 5 4 3 4 4 5 13 4 6 15 5 6 4

執行結果是

0 1 8 4 13 17

通過上面的**我們可以看出，這個演算法的時間複雜度是o(n2)。其中每次找到離1號頂點最近的頂點的時間複雜度是o(n)，這裡我們可以用「堆」（以後再說）來優化，使得這一部分的時間複雜度降低到o(logn)。另外對於邊數m少於n2的稀疏圖來說（我們把m遠小於n2的圖稱為稀疏圖，而m相對較大的圖稱為稠密圖），我們可以用鄰接表（這是個神馬東西？不要著急，下週再仔細講解）來代替鄰接矩陣，使得整個時間複雜度優化到o( (m+n)logn )。請注意！在最壞的情況下m就是n2，這樣的話mlogn要比n2還要大。但是大多數情況下並不會有那麼多邊，因此(m+n)logn要比n2小很多。

Dijkstra最短路演算法

最短路 Dijkstra演算法

dijkstra最短路演算法

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