在本篇部落格中，我們將討論如何使用有效的演算法來判斷乙個大整數是否為平方數。
給定正整數
n n
,如果存在乙個整數
m' role="presentation" style="position: relative;">m
m，滿足m2
=nm 2=
n，那麼則稱
n n
為平方數。因此，判斷乙個大整數
n' role="presentation" style="position: relative;">n
n是否為平方數，很自然的想法就是，從1開始，依次遞增，判斷這個數的平方是否等於給定的數
n n
，如果是，則
n' role="presentation" style="position: relative;">n
n為平方數，如果這個數的平方大於
n n
，則n' role="presentation" style="position: relative;">n
n不是平方數。這個想法很簡單，但可惜的是，效率卻很低，因為我們要遍歷n−
−√n
個數，當
n n
很大時，這樣的效率是我們不能忍受的。
那麼有沒有其他方法呢？這時候，乙個公式進入我們的視野，那就是：1+
3+5+
...+
2n−1
=n2.
' role="presentation">1+3
+5+.
..+2
n−1=
n2.1
+3+5
+...
+2n−
1=n2
.看上去這個公式給了我們一點希望，因為我們不需要從1開始乙個乙個去找，而是只需要尋找至2n
−−√−
1 2n−
1即可。但我們仔細地分析一下，不難發現，該公式的實質和乙個乙個找沒什麼區別，因為我們還是要遍歷n−
−√n
個數。
所以，存在有效的演算法嗎？答案是肯定的！為什麼不嘗試著去計算
n n
的平方根呢？按照這個思路，我們具體的演算法，結合牛頓法，步驟如下：
初始值x0=
1' role="presentation" style="position: relative;">x0=
1x0=
1, 誤差
ϵ ϵ
足夠小；
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