上回說到，如何確定最大匹配數。接下來，本次將簡述如何確定最優匹配路徑。仿照確定最大匹配數的演算法，這個問題也非常容易解決，不知道這周當中，有沒有哪位 xdjm
已經有了自己的解決方案呢？
有問題可以發郵件給我：
文字比較演算法剖析（ 2）
-如何確定最優匹配路徑
確定最優匹配路徑的問題，通常在做檔案比較時要用到，它的意思是：在所有能夠得到最大匹配點數的路徑中，找出一條最短的路徑。
讓我們繼續以上次的例子進行研究：
首先，我們仍然是手工標出能夠得到最大匹配點數的所有路徑。在手工繪製可用路徑的時候，需要說明一下： l
首先，這裡我們以計算 left
的最優路徑為例。計算 right
的最優路徑和 left
是完全對稱的； l
在圖中，向右移動一格，表示 left
的當前元素放棄和 right
的當前元素進行匹配，而和 right
的下乙個元素進行匹配。如果進行檔案比較的話，就是 left
檔案的當前行前，插入 right
檔案的當前行； l
在圖中，向下移動一格，表示 left
的當前元素放棄和 right
的當前元素進行匹配，而使用 left
的下乙個元素和 right
的當前元素進行匹配。如果進行檔案比較的話，就是 left
檔案的當前行被刪除； l
在途中，向右下方移動一格，表示確定 left
和 right
的當前元素的匹配，使用 left
的下乙個元素和 right
的下乙個元素進行匹配。如果進行檔案比較的話，就是 left
和 right
檔案的當前行已經匹配，分別比較下一行。 l
由於 left
和 right
是流式的，所以每個元素只能匹配一次而且不能顛倒順序，所以，在 x
和 y方向上，只能保留乙個匹配點，而且只能向下，向右，或者向右下方移動。
有了這些規則，我們就可以得到如下圖中間紅色粗線所示的 4
條可能的路徑。
從上向下，依次編號為 1,2,3,4
號路徑，分析如下： 1
號路徑表示（只說明含義，演算法推導在後面）：
依次類推，可以得到其他路徑的實際含義。需要說明的是， 3
號路徑在選擇第二個匹配點時，沒有採用 left[9]:right[1]
的匹配關係，而是跳過 left[9]
，採用了 left[11]:right[1]
。這樣，點 (left[9], right[1])
在 3號路徑上是「刪除 left
第 9行」的意思。
如果我將整個過程中在 left
上移動的距離紀錄下來，就得到：
從圖上就很容易看出，在 left
上移動最短的，也就是最優的路徑，是 4
號路徑。
是不是看起來毫無頭緒？
別急，象上次一樣，我們進行乙個分析。
依然是歸納法，依然是找出元素 d(l,r)
的 3個相鄰區域 a,b,c:
分析： 1.
如果點 d(l,r)
表示從 left
的第 l
個元素， right
的第 r
個元素出發，匹配到矩陣邊界後，在 left
方向上的最短路徑長度 （我更喜歡稱之為 depth ） ，那麼： 2.
如果點 (l,r)
是乙個被確定的匹配點，那麼下一步，只能選擇進入 a
區域，到點 (l+1,r+1)
，所以得到：
d1
if (v(l,r)>0) then d(l,r) = 1 + d(l+1,r+1)
還記得 v(l,r)
和 n(l,r)
的定義麼？可以看看文件《文字比較演算法剖析（1
） -
如何確定最大匹配率》 3.
如果點 (l,r)
不是乙個被確定的匹配點，那麼下一步可以進入 b
或者 c.
d2
如果進入 b
區域，那麼意味著 」
插入 right
的第 r
行 」，但是在 left
的位置保持不變，所以得到：
if (v(l,r) == 0) then d(l,r) = d(l,r+1)
d3
如果進入 c
區域，那麼意味著 」
刪除 left
的第 l
行 」，在 right
的位置保持不變，但是在 left
的位置要加 1
。所以得到
:if (v(l,r) == 0) then d(l,r) = 1 + d(l+1,r)
那麼現在有 3
個值 d1
， d2 ， d3 ，該如何取捨呢？直接取 min(d1,d2,d3) 可以麼？
呵呵，其實，我也是嘗試了很多次以後才搞清楚的。大家可以用 excel 驗證一下自己的想法。很簡單的，大概驗證整個演算法，用 10 行左右的**再加上 excel 本身提供的公式就足夠了。
4.
不要忘記了前面說過的， 」
在所有能夠得到最大匹配點數的路徑中，找出一條最短的路徑 」,
首先我們要保證得到最大匹配匹配點數，所以我們又有：
if (n(l,r+1) >= n (l+1,r) then
d(l,r) = d(l,r+1);
else
d(l+r) = 1 + d(l+1,r)
綜合上面所有的分析，路徑長度 d(l,r) 的計算公式就是：
if (v(l,r) = 1) then
d(l,r) = d(l+1,r+1) + 1
else
if (n(l,r＋1) >= n(l+1,r)) then
d(l,r) = d(l,r+1)
else
d(l,r) = d(l+1,r) + 1
end if
將公式寫入 excel 自動計算，得到結果如圖：
可以看到，結果正確。
ok 。 結束了，文字比較的演算法核心就介紹完了。
事實上，上面第四步給出的是優化後的結果，有興趣的可以自己試著分析一下第 4 步是否應該這樣計算，有什麼情況我沒有在這裡講的，但是結果為什麼又是正確的。
有了這個演算法，大家可以很快的編寫自己的文字比較功能了。
計算最優路徑的附加時間複雜度為 0 ，因為它完全可以和計算最大匹配點數一起進行；附加的空間複雜度為 max(m,n), 因為它需要乙個額外的陣列紀錄 n(l+1) 。
如果不計算最優路徑的話，計算最大匹配點數的演算法還可以再優化。
注1： 感謝jcodeer.chang，為我糾正了文中的表示式的錯誤。
《轉》文字比較演算法剖析（1） 如何確定最大匹配率
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文字比較演算法 Nakatsu演算法
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