學習動態規劃問題時，較為經典的分析例題，分別通過遞迴，備忘錄和自下而上的方式基於python實現的練習。
首先由斐波那契數列進行練習：
# 斐波那契數列 遞迴
def fibo(n):
if n <= 0:
return 0
if n == 1:
return 1
return fibo(n-1)+fibo(n-2)
# 斐波那契數列 非遞迴
（一）自頂向下的備忘錄版本
def fibonacci(n):
sum_list = [0] * (n + 1)
def fibo(n, sum_list):
if sum_list[n] != 0:
return sum_list[n]
if n <= 2:
sum_list[n] = 1
else:
sum_list[n] = fibo(n-1, sum_list)+fibo(n-2, sum_list)
# print(sum_list)
return sum_list[n]
return fibo(n, sum_list)
通過定義sum_list列表（n+1個元素）來記錄斐波那契數列中每乙個值，
如果存在sum_list中的值，省去遞迴直接進行計算，
如果sum_list中沒有斐波那契中的值，
再利用遞迴進行計算並儲存在sum_list中。省去了重複計算。
（二）自低而上
def fibo(n):
if n <= 1:
return n
s1 = 0
s2 = 1
sum = 1
for i in range(1,n):
sum = s1+ s2
s1 = s2
s2 = sum
return sum
但是備忘錄方法還是使用到了遞迴，並產生額外的開銷。
所以，可以先運算元問題，fib（1），fib（2），fib（3）……等，
即動態規劃核心：先計算子問題再計算父問題。
例題：鋼條切割
（一）
# 遞迴版本
def value_max(p, n):
if n == 0:
return 0
q = 0
for i in range(0, n):
q = max(q, p[i]+value_max(p, n-i-1))
return q
同斐波那契，多新增了乙個max的函式用來篩選，再新增乙個列表r用來記錄。
# 備忘錄版本
def cutmemo(p, n):
r = [0]* (n+1)
def value_max(p, n, r):
if n == 0:
return 0
q = 0
for i in range(0, n):
q = max(q, p[i] + value_max(p, n-i-1, r))
r[i] = q
print(r)
return q
return value_max(p, n, r)
# 自下而上的動態規劃
def cutmemo(p, n):
r = [0] * (n+1)
for i in range(1, n+1):
if n == 0:
return 0
q = 0
for j in range(1, i+1):
q = max(q, p[j-1]+r[i-j])
r[i] = q
return r
動態規劃 鋼條切割
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