描述： 給定 n 種商品，每種商品有對應的重量weight和價值value，乙個容量為 maxweight 的揹包，問：應該如何選擇裝入揹包的商品，使得裝入揹包中的商品的總價值最大？
過程：
a) 把揹包問題抽象化（x1，x2，…，xn，其中 xi 取0或1，表示第 i 個商品選或不選），vi表示第 i 個商品的價值，wi表示第 i 個商品的體積（重量）；
b) 建立模型，即求max(v1x1+v2x2+…+vnxn)；
c) 約束條件，w1x1+w2x2+…+wnxnd) 定義v(i,j)：當前揹包容量 j，前 i 個商品最佳組合對應的價值；
案例：number＝4，capacity＝8
i
1
2
3
4
w(體積)
v(價值)
第乙個疑惑（solved）：
既然j表示容量，為什麼在大多數文章中，j=1,2,3，...n，而不是與重量有關的數列？
答：分解為小問題後，就變成了更小容量的問題，所以j由小到大地生長，看能放商品情況。這裡沒毛病。
尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：
第一，包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即v(i,j)=v(i-1,j)；
第二，還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的乙個，即v(i,j)=max｛ v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i) ｝
其中v(i-1,j)表示不裝，v(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)但價值增加了v(i)；
由此可以得出遞推關係式：
1)j2)j>=w(i)v(i,j)=max｛v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i)｝
第二個疑惑（solved）：
為什麼會出現v(i-1,j-w(i))，尤其是其中的j-w(i)。
因為為了表示這個商品裝進揹包裡了，即：揹包容量變小了。
如果物品重量為小數，那麼尋優過程中的「j-w(i)」
就要找不大於j的最大整數。
3. 找出解的具體形式
經過遞推關係式，可以得到一張類似如下的圖表
第三個疑惑（solved）：
如何從圖中找出最終的揹包商品？
答：**填完，要根據最優解回溯找出解的組成。尋解方式如下：
1) v(i,j)=v(i-1,j)時，說明沒有選擇第i 個商品，則回到v(i-1,j)；（備註：豎著的兩個值相等，沒選商品i —> 跳到i-1）
2) v(i,j)=v(i-1,j-w(i))+v(i)時，說明裝了第i個商品，該商品是最優解組成的一部分，隨後我們得回到裝該商品之前，即回到v(i-1,j-w(i))；（備註：豎著兩個值不等，選了商品i —> 按重量跳到不裝商品i的那個j的位置）
3) 一直遍歷到i＝0結束為止，所有解的組成都會找到。
舉例說明：
1) 最優解為v(4,8)=10，而v(4,8)!=v(3,8)卻有v(4,8)=v(3,8-w(4))+v(4)=v(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被選中，並且回到v(3,8-w(4))=v(3,3)；
2) 有v(3,3)=v(2,3)=4，所以第3件商品沒被選擇，回到v(2,3)；
3) 而v(2,3)!=v(1,3)卻有v(2,3)=v(1,3-w(2))+v(2)=v(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被選中，並且回到v(1,3-w(2))=v(1,0)；
4) 有v(1,0)=v(0,0)=0，所以第1件商品沒被選擇；
01揹包 動態規劃（三）
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