【參考資料】
上海交通大學公開課 《數學之旅 3 函式空間》
空間的定義是乙個逐步抽象的過程。
首先是度量空間（有長度，符合正定、對稱和三角不等式）
其次定義線性空間（賦範線性空間。是一種特殊的度量空間）
備註：範數相對於度量空間多了數乘的約束，以及定義到零點的距離
再次定義內積空間（有角度）
在有限維的定義中，內積空間就是我們的歐幾里得空間。
在無限維定義中，若增加完備性（即極限也在這個空間裡，或者說這個空間是連續的，沒有洞）則賦範線性空間稱之為巴拿赫空間。
在無限維定義中，若增加完備性，則內積空間也稱為希爾伯特空間。
反之，從度量空間再往更加抽象的方向定義，假設連度量（長度）的意義都不存在，如何定義聯通性，這裡就要用到拓撲的概念，即拓撲空間。
其實可以這樣理解：
這個世界有很多條線組成，假設這個世界是連續的，那麼
兩條線相交是存在的，如上例中 集合1，2和2，3存在交集2
兩條線併攏起來是存在的，如上例中集合1，2相並存在集合1，2
這裡的拓撲表達的是一種聯通性，比如我們在網路中所談到的拓撲組網一樣，這是在點集拓撲裡我們把這個研究物件看成是乙個抽象空間。
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