B 樹以及B 樹

b樹是一種平衡的多路查詢樹，包括b-樹以及b+樹。乙個節點可以擁有多個key以及多個孩子節點。一棵d+1階(又稱為branch factor)的b樹滿足如下條件：

b-樹的每個節點均儲存key以及相應的value。b-樹還具有如下特點：

b-樹中的旋轉操作不同於自平衡二叉搜尋樹，並不改變樹的結構，僅僅更改key的位置。

**左旋：**將父節點中的key，替換對應子節點中預刪除key，而將右兄弟節點中最小的key替換父節點中的key。例如上圖中，刪除76，那麼父節點78替換76的位置，右兄弟中最小的79替換78的位置。

**右旋：**將父節點中的key，替換對應子節點中預刪除key，而將左兄弟節點中最大的key替換父節點中的key。

旋轉操作後，節點內的key需要重新排序。

合併操作發生在預刪除key所在節點以及左右兄弟包含的key的個數均等於d。那麼刪除乙個key後，無法從左右兄弟中通過旋轉操作補充key，只能與兄弟以及父節點中的分離點key合併，同時更新孩子節點的父節點。合併後的節點含有2*d個key。繼續向上調整key的位置。

例如上圖中，刪除7，那麼需要與右兄弟[20,25]合併，同時將父節點中的12拉回來，繼續向上更新，則需要合併[13]，[54]以及[69, 78]。

b-樹從根節點開始，若節點中存在相同key，即break。

從根節點開始查詢方法：

找到節點

b-樹是自底向上生長的。

搜尋到最底層節點，將key插入到節點中

若當前節點包含key的個數大於m-1，則劈裂派生出新節點，中位數插入當前節點的父節點。繼續向上更新

若根節點包含key個數大於2*d，則構建新的根節點

刪除最底層節點m中的key:

m中key的個數大於d，則直接刪除，break

key的個數小於等於d，則：

若左右兄弟節點中存在key的個數大於d，則rotate，break

若左右兄弟節點key的個數均小於d，則merge，繼續向上更新

刪除非最底層節點中的key，用以該key為分離點的右邊孩子節點中最小的key替換，直到最低層節點轉上1(例如預刪除78，實際刪除79)

b+樹與b-樹結構類似，對樹的操作同樣涉及旋轉、合併等，主要區別如下：

**左旋:**右兄弟中最小key替換預刪除key，重新排序後逐步向上更新父節點中key。

**右旋:**左兄弟中最大key替換預刪除key，重新排序後逐步向上更新父節點中key。

與b-樹類似，合併兄弟節點的key以及孩子節點。繼續向上更新節點的key，若合併葉節點還需要更新指標。

**順序搜尋：**從head指標開始順序搜尋葉節點。

**隨機搜尋：**與b-樹類似，不同是每次搜尋必須到葉節點才返回(因為只有葉節點儲存了value)。

與b-樹類似，需要注意的是如果插入的key是所在節點最大的key，那麼就需要向上更新key。

與b-樹類似，需要注意的是，自底向上合併時，如果當前節點的父節點只有乙個key，那麼該父節點就是根節點，沒有存在的必要，應以當前節點為新的根節點。

# b+樹刪除操作部分示例**
defupdatedelete
(self, currentnode)
: p = currentnode.parent
ind = p.children.index(currentnode)
# 獲取當前節點在兄弟節點中的位置
if ind ==0:
# 第乙個，則無左兄弟
sr = p.children[ind +1]
iflen
(sr.keys)
> self.d:
# 右兄弟key個數大於d,則左旋
self.leftrotate(currentnode, ind, p, sr)
else
: self.rightmerge(currentnode, ind, p, sr)
iflen
(p.keys)
>1:
self.updatedelete(p)
else
:# 表明父節點為根節點，且只有乙個key，那麼孩子節點公升級為根節點
self.root = p.children[0]
elif ind ==
len(p.children)-1
:# 最後乙個，則無右兄弟
sl = p.children[ind -1]
iflen
(sl.keys)
> self.d:
self.rightrotate(currentnode, ind, p, sl)
else
: self.leftmerge(currentnode, ind, p, sl)
iflen
(p.keys)
>1:
self.updatedelete(p)
else
: self.root = p.children[0]
else
: sl = p.children[ind -1]
sr = p.children[ind +1]
iflen
(sl.keys)
> self.d:
self.rightrotate(currentnode, ind, p, sl)
elif
len(sr.keys)
> self.d:
self.leftrotate(currentnode, ind, p, sr)
else
: self.leftmerge(currentnode, ind, p, sl)

完整**請參看我的github

注：本文是個人的一些思考，**等若有不當之處，還請指正。

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B 樹以及B 樹和B 樹

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