有些結論用起來習以為常,卻不知道背後的原理,比如為什麼梯度方向與等高線垂直,弄明白後心裡才舒暢
要解決這個問題首先得有等高線的數學表示式
以三維空間為例, 設某曲面的表示式為z=f
(x,y
)z=f(x,y)
z=f(x,
y),對於任意高度且平行於xoy的平面z=c
z=cz=
c來說,等高線為z=f(x,y)\\z=c\end
dxdy
,通過z=f
(x,y
)z=f(x,y)
z=f(x,
y)來表示等高線上的斜率有dyd
x=∂f
∂x/∂
f∂y\frac = / }}
dxdy=
∂x∂f
/∂y
∂f,該點對應的法線方向為斜率的負倒數,即−1d
ydx=
dxdy
=∂f∂
y/∂f
∂x=t
anθ- \frac }=\frac =\frac /\frac=tan\theta
−dxdy
1=d
ydx
=∂y∂
f/∂
x∂f
=tan
θ,其中θ
\theta
θ是法線和x軸的夾角.如果梯度的方向和等高線的法線方向一致,就證明了垂直關係
z =f
(x,y
)z=f(x,y)
z=f(x,
y)的梯度向量為(∂f
∂x,∂
f∂y)
(\frac , \frac )
(∂x∂f
,∂y∂
f),設該向量和x軸的夾角大小為γ
\gamma
γ,則夾角的正切為tan
γ=∂f
∂y/∂
f∂x=
tanθ
tan\gamma=\frac /\frac =tan\theta
tanγ=∂
y∂f
/∂x∂
f=t
anθ
所以梯度向量的方向和等高線的法線方向是一樣的!也就是說,梯度方向和等高線垂直
參考:知乎憶臻大神
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