橢圓曲線加密演算法elliptic curve cryptosystem
安全性基礎：橢圓曲線群上的離散對數問題。目前，最好解決演算法仍是指數時間。
一、橢圓曲線群是由兩部分組成：
第一部分是m。區域f中有兩個數a,b
m = y^2 = x^3 + ax + b 其中x,y屬於f*f
第二部分為o點（無窮遠點）
(橢圓曲線群)e = o u m
知道了橢圓曲線群的定義之後，根據引數的不同其在座標軸上的影象必定是不同的，有的
關於x軸是對稱的，有的不對稱。為了方便研究可以取關於x軸堆成的橢圓曲線：
y^2 = x^3 - x。所表示的影象就是左邊是乙個橢圓曲線，右邊是乙個類似小於號的半開口形狀
二、橢圓曲線上的加法（幾何的表示方法）
根據曲線上兩點的選擇可以分為以下三種情況：
1. 當選擇的兩個不相同點（這裡選擇的兩點一般為類似橢圓上的兩點），
且兩點的連線不是和y軸平行。那麼延長線段必定和曲線上另乙個點相交為p，
這個相交的點p做與y軸平行的線交於橢圓上另一點p',p'這個點就是兩點相加的結果
2.如果選擇的點相同，則作此點在橢圓上的切線，又會交於一點（剩餘步驟同1.）
3.若兩點相連的延長線和y軸平行，那麼兩點的加和就是無窮遠點o
橢圓曲線上的加法（數學上的描述方法）
（1）p + o = o + p = p (p屬於e，o為無窮遠點,這裡的無窮遠點類似於零)
（2）p=(x1,y1) ,q = (x2,y2) 屬於e
1.o 若 x1 = x2 且 y1 = -y2
p + q =
2.(x3,y3) 其他
其中/ x3 = t^2-x1-x2 / 1.(y2-y1)/(x2-x1) 若p!=q (點加運算)
點r= 且 t =
\ y3 = t(x1-x3)-y1 \ 2.(3*x1^2+a) / (2y1) 若p = q (倍乘運算)
因此（x3,y3）有三種結果。
我們試著證明為什麼會有這三種結果呢？
a .討論並證明t的取值
p=(x1,y1) ,q = (x2,y2) 屬於e
1.當p != q時，兩點斜率為t = (y2-y1)/(x2-x1)
2.當p = q，在p（q）點的導數就是t = dy/dx
對等式y^2 = x^3 + ax + b兩邊關於x求導得到:
2y*(dy/dx) = 3x^2 + a
以及t = (dy/dx) = (3*x1^2+a) / (2y1)
b.證明直線y = tx + c與橢圓曲線y^2 = x^3 + ax + b的第三個交點
所以可以聯立上面兩個方程得到乙個關於t和x的方程得：
x^3-t^2*x+(a+2tc)*x+b-c^2 = 0
設r'=(x3,-y3)是pq之外的第三個點。可得：x1+x2+x3 = t^2
這裡可以求得x3的值，再帶入直線方程可得到y3的值y3取負得到最終的值
練習：設p=23,f=z mod p 橢圓方程y^2 = x^3+x+4 p(4,7) ，q(13,11)
點加運算：p+q = (15,6) 倍乘運算：2p(10,18)
我們可以看看點加運算的x3,y3是怎麼得到的：
根據斜率公式我們可以簡單的得到t = 4/9,
同時過兩點的直線方程為：y = (4/9)x-2
根據公式x1+x2+x3 = t^2
x3 = (4/9)^2 - 4-13 = ? (mod 23)
但真正在橢圓曲線上求解t（這裡是4/9）時會使用逆元而並非直接運算，
因為現實情況中分子分母可能會非常大不能直接運算，而往往這種情況下
都允許取模來控制結果的範圍。但除法不能取模，而乘法可以取模。那麼
逆元就派上用場了。
若對於數字a,c 存在x，使a * x = 1 (mod c) ,那麼稱x為 a 對c的乘法逆元。
回歸上述問題x3 = (4/9)^2 - 4-13 = ? (mod 23)如何用逆元求解問題？
根據逆元形式我們整理上式 16/81 mod 23 = (17+?)
對於（81，23） x * 81 = 1 mod 23 得到x = 2
那麼（16/81） * (2*81) = (17+?) mod 23
結果得到？= 15即為x3的值
求解乙個整數k，使得在橢圓曲線e上的兩個點a,b
滿足k*a = b,這就稱之為橢圓曲線群e上的離散對數問題，但是
這個問題和np問題一樣是數學困難問題
三、橢圓曲線的數字簽名
數字簽名應該滿足的條件：
1、簽名與檔案是不可分割的整體。
2、簽名者不能否認自己的簽名。
3、接受者能驗證簽名，任何人都不能偽造簽名。
4、雙方發生爭執，有可信第三方解決問題。
數字簽名方案的分類：
1.利用特殊的公鑰加密演算法實現。並且所有的公鑰加密演算法都能實現數字簽名。
只有滿足d(e(x)) = e(d(x)) = x（e為加密，d為脫密）的公鑰密碼演算法才能實現數字簽名。
2.利用專門設計的數字簽名演算法。
基於公鑰演算法設計的數字簽名
使用者a對檔案m簽名過程：
(1)利用簽名金鑰kd對m進行脫密變換d,得到sign(m) = d(m)
(2)簽名者將檔案m和簽名sign(m)一起公布
使用者b對簽名驗證過程：
利用使用者a的簽名識別秘鑰ke對簽名sign(m)執行加密變換e,即e(sign(m))
如果結果和m相同則是使用者a對m的簽名，否則不是。（因為e(d()) = d(e())）
ecdsa簽名的過程是：
假設alice要給bob發乙個經過數字簽名的訊息，他們首先需要定義一組共同接受的橢圓曲線加密用引數，
簡單的，這組引數可表示為(curve, g, n)其中，curve表示橢圓曲線點域和幾何方程；g是所有點倍積運算的基點;
n是該橢圓曲線的可倍積階數(multiplicative order)，作為乙個很大的質數，n的幾何意義在於，ng = 0，
即點倍積ng的結果不存在，而對於小於n的任何乙個正整數 m = [1，n-1]，
點倍積mg都可以得到乙個合理的處於該橢圓曲線上的點。
其次，alice要建立一對鑰，即乙個私鑰和乙個公鑰。
私鑰來自於[1, n-1]範圍內乙個隨機數：da = rand(1,n-1)
公鑰如下，它來自私鑰和基點的橢圓曲線點倍積：
qa = da * g
假設alice想要對訊息m作數字簽名，有以下步驟：
1.計算 e = hash(m)，hash是乙個雜湊加密函式，比如sha-2，或sha-3。
2.計算 z，來自e的二進位制形式下最左邊（即最高位）l_n個bits，
而l_n是上述橢圓曲線引數中的可倍積階數n的二進位制長度。注意z 可能大於n，但長度絕對不會比 n 更長。
3.從 [1, n-1] 內，隨機選擇乙個符合加密學隨機安全性的整數k。
4.計算乙個橢圓曲線上點：
（x1,y1） = k * g
5.以下式計算 r 值， 如果r == 0, 則返回步驟3重新計算。
r = x1 % n
6.以下式計算 s 值，如果 s == 0，則返回步驟3重新計算。
s = k^(-1) * (z + r*da) % n
生成的數字簽名就是 (r, s)
特別需要注意的是步驟3中 k 的選擇，它不僅要滿足加密學的隨機安全性要求，
要像私鑰一樣保護起來，更重要的是，在每次生成乙個新的數字簽名時，這個 k 必須每次都要更新
驗證ecdsa簽名的過程：
收到數字簽名檔案外，還會有乙份公鑰。所以bob的驗證分兩部分，首先驗證公鑰，
然後驗證簽名檔案(r, s)。
一、公鑰驗證
1.通過公鑰的座標qa驗證它必須是處於該橢圓曲線上的點。
2.曲線的可倍積階數 n 與公鑰的點倍積不存在。n×qa=o
二、簽名檔案的驗證
1、驗證r和s均是處於[1, n-1]範圍內的整型數；否則驗證失敗
2、計算e=hash(n)，hahs()即簽名生成過程步驟1中使用的雜湊函式。
3、計算z，來自e的最左邊l_n個bits。
4、計算引數w：
w=s^(-1) mod n
5、計算兩個引數u1和u2：
u1=zw mod n ，u2=rw mod n
6、計算(x1, y1)，如果(x1, y1)不是乙個橢圓曲線上的點，則驗證失敗：
(x1, y1) =u1×g + u2×qa
7、如果以下恒等式不成立，則驗證失敗：
r≡(x1mod n)
以上就是橢圓曲線數字簽名演算法(ecdsa)的生成和驗證的完整過程。
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