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分類： 演算法
2012-09-30 17:04
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[-] 題目：給定乙個整數n，輸出這個整數拆分的可能總數
分析一分析二
題目二：給定乙個整數n，輸出這個整數拆分的可能形式（即輸出全部情況）
前幾天在演算法書上看到乙個整數拆分的題目，覺得挺有意思，記錄如下：
例如：n==6有
5+14+2 4+1+1
3+3 3+2+1 3+1+1+1
2+2+2 2+2+1+1 2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1
共11種分解方法，所以輸出應該為11。
拆分按照因子從大到小排列，每一次拆分都可視為問題規模的減少，所以可以使用遞迴解決。
設q(n,m)為整數n使用不大於m的整數進行拆分的所有情況總數，因此有
1）當n==m時
可以分為兩種情況，乙個是使用n本身，只有一種情況。二個是使用不大於n-1的整數進行拆分。
所以此時q(n,m)=1+q(n,n-1)；
2）當n使用比n大的數進行拆分沒有意義，所以此時q(n,m)=q(n,n)
3）當n>m時
這時候有兩種情況，乙個是使用m對n進行拆分，乙個是使用小於m的數對n進行拆分
對於第乙個，使用m對n進行拆分，所以拆分出來的情況最大的數是m，剩下的所有數加起來為n-m，問題變成使用不大於m的整數對n-m進行拆分，所以此時為q(n-m,m)
對於第二個，使用小於m的數對n進行拆分，表示為q(n,m-1)
4）當n==1或者m==1時 只有一種情況，返回1。注意，這裡可能會漏掉m==1的情況，實際上這種情況是存在的。
所以可以使用遞迴函式程式設計如下：
[cpp]view plain
copy
#include
#include
using
namespace std;
int q(int n,int m)
if(nreturn q(n,n);
if(n==m)
if(n>m)
return q(n,m-1)+q(n-m,m);
} void main()
}
使用母函式法
整數分解用母函式可以這樣理解，分別用任意個1，2，3，4，……，n可以加起來可以表示成n的種數。又因為當使用整數m對n進行分解時，所使用的次數不能多於n/m次，所以可以寫下母函式如下：
g(x)＝(1+x^1+x^2+……+x^n)*(1+x^2+x^4+……+x^((n/2)*2))*……
＊(1+x^m+x^(2*m)+x^(3*m)+……+x^((n/m)*m))*……*(1+x^n)
在程式中使用set陣列表示每一輪乘法後得到係數，c陣列表示到現在為止乘法得到的係數總和。最後算出結果後x^n對應的係數則為可分解的可能數。**如下：
[cpp]view plain
copy
#include
const
int num=1000;
int set[num];
int c[num];
void init()
} int main()
} for(int x=0; x<=n; x++)
} printf("%d\n",c[n]);
} return 0;
}
使用遞迴情況（輸出實在麻煩。。弄了很久(>﹏
整個輸出類似於一顆樹，以分解6為例，過程如下圖
**如下：
[cpp]view plain
copy
#include
//使用乙個陣列記錄在遞迴過程中產生的前面需要重複輸出的值
int set[100];
//用於在遞迴過程中判斷是否遞迴到最深處，輸出回車
int k;
//此函式表示使用不大於m的整數對n進行拆分的情況，i用於表示set陣列已經存在的記錄數長度
void q(int n,int m,int i)
if(n==1)
else
if(m==1)
if(nq(n,n,i);
} if(n==m)
if(n>m)
} void main()
整數拆分的兩種解法（已完成）
前幾天在演算法書上看到乙個整數拆分的題目，覺得挺有意思，記錄如下 例如 n 6有 6 5 14 2 4 1 1 3 3 3 2 1 3 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 共11種分解方法，所以輸出應該為11。拆分按照因子從大到小排列，每一次拆分都可視...
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