學習筆記動態規劃

∙

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∙先來看乙個問題：

小張現在有8個任務可選，每個任務都必須在規定的時間段完成不能多也不能少，而且每個任務都有對應的報酬如下圖，問小張應如何選擇才能拿到最多的報酬？

∙那我們換種方法來解決這個問題吧，

首先，每個任務都有選和不選兩種選擇，我們從最後乙個任務開始模擬這個過程。首先我們需要先用乙個陣列pre

prepr

e[ ]，那麼pre

[i]pre[i]

pre[i]

表示在所有編號小於i

ii的任務中，編號最接i

ii近且時間段與iiii

ii12345

678pre

[i]pre[i]

pre[i]

0001

0235

開始模擬選與不選的過程：首先我們用乙個opt

optop

t[ ]陣列，opt

[i]opt[i]

opt[i]

表示第i

ii個任務能獲得的報酬的最優解（此最優解不表示第i

ii個任務的報酬）

第8個任務有兩種選擇：選第8個任務，那麼opt

[8]=

opt[

pre[

8]]+

任務8報

酬opt[8]=opt[pre[8]]+任務8報酬

opt[8]

=opt

[pre

[8]]

+任務8

報酬，它表示如果選了第8個任務，也選了之前的某個任務，那麼之前的某個任務就不能與第8個任務有時間衝突，所以這種情況下的第8個任務的報酬就是選了的之前某個任務的最優報酬+第8個任務的報酬；不選第8個任務，那麼第8個任務的最優報酬就等於第7個任務最優報酬。為了便於理解，我畫了乙個圖：

]表示第i

ii個任務的最優報酬，那麼上述過程就可以簡化為下面這個方程：

o pt

[i]=

maxopt[pre[i]]+gain[i], & \text \\ opt[i-1], & \text \end

opt[i]

=max

max(opt[pre[i]]+gain[i],opt[i-1] )&i>1 \\ gain[1]&i=1\\ 0&i=0 \end

opt[i]

=⎩⎪⎨

⎪⎧m

ax(o

pt[p

re[i

]]+g

ain[

i],o

pt[i

−1])

gain

[1]0

i>1i

=1i=

0∙

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∙最後再來說一說動態規劃題目得特點即基本思想：對於乙個給定的問題，這個問題可以分解為若干性質相同或相似的子問題，且每個子問題都有其最優解的解決方法，那麼這個大問題的最優解就可以由若干個子問題的最優解結合得到。對於上述問題，我之所以要先從最後乙個任務來推，就是為了發現，這個大問題的最優解可以由它的子問題的最優解來得到，並且還發現了重疊子問題，這時就需要記憶化儲存，一旦某乙個子問題的最優解已解出，就需要將其記憶化儲存下來，以便下次再遇到同乙個子問題就可以直接查表，從而減少時間和空間複雜度。所以動態規劃常用於有重疊子問題和最優子結構的問題中。當然動態規劃不常用遞迴來做，一旦求出了狀態轉移方程就可以用迭代來做。

∙

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∙如何發現乙個問題是否能用動態規劃來做呢，首先要明白問題的最優解結構，以及子問題的最優解結構，如果它們的最優解結構相似或者相同的話，遞迴的模擬一下由大問題轉換為子問題的過程，看是否有重疊子問題以及遞迴出口等。最後再總結出來狀態轉移方程就好了。

之後再補上例題。。。。。

∙

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∙來個簡單的例題：

在講述dp演算法的時候，乙個經典的例子就是數塔問題，它是這樣描述的：

有如圖所示的數塔，要求從頂層走到底層，若每一步只能走到相鄰的結點，則經過的結點的數字之和最大是多少？

input

輸入資料首先包括乙個整數c,表示測試例項的個數，每個測試例項的第一行是乙個整數n(1 <= n <= 100)，表示數塔的高度，接下來用n行數字表示數塔，其中第i行有個i個整數，且所有的整數均在區間[0,99]內。

output

對於每個測試例項，輸出可能得到的最大和，每個例項的輸出佔一行。

sample input

157 3 88 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5

sample output

狀態轉移方程：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const
int maxn=
105;
int mp[maxn]
[maxn]
;int
main()
}for
(int i=n-
1;i>=
0;i--
)printf
("%d\n"
,mp[1]
[1])
;}return0;
}

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