**：
某公司生產長鋼管，然後一般，會將鋼條切斷，變成不同長度，然後去售賣。其中有個問題是，不同長度的鋼管的售價是不一樣的，但是它們並不是完全按照比例來，比如2公尺的鋼管售價要比3公尺的鋼管售價要少，但是並不是2比3的比例。鋼管的長度售價表如下：
長度i123
4567
8910**
891017
1720
2430
於是問題就來了，比如30公尺長的鋼管，要如何切割，切割成多長的幾條，才能讓售價最高，收益最高呢？
1.樸素演算法：
最簡單直接的想法，就是用暴力破解，n長的鋼管，可以分解成i長和n-i長的兩段，因為i可以從0~n取值，所以我們可以對i不進行繼續切割，於是對於長為i的這一段，可以直接呼叫價錢陣列p[i]來得到價錢，然後加上對n-i遞迴呼叫求最優收益的函式的返回值。在過程之中記錄這些組合的最優收益，等迴圈結束的時候，就能得到最優的收益價錢。
假設r[n]代表的是n長的鋼管的切割最佳收益值，陣列p代表上面表中的**，其中p[0]=0，從p[1]~p[10]對應上面表中的資料，那麼按照上面的想法，有公式：
這種方法比較容易理解，但是效能是不是好呢？
可以簡單的以n=4的情況來看一下：
n=4的劃分(其中前面的那一段是直接使用p[i]，後面一段呼叫函式來求最佳收益)：
cut_rod(p,4)的劃分可能：
①1長和3長：p[1]+cut_rod(p,3)
②2長和2長：p[2]+cut_rod(p,2)
③3長和1長：p[3]+cut_rod(p,1)
④4長和0長：p[4]+cut_rod(p,0)
而其中cut_rod(p,3)又可以劃分為陣列p中元素與cut_rod(p,0)，cut_rod(p,1)和cut_rod(p,2)；以此類推，可以給出一種以遞迴呼叫樹的形式展示cut_rod遞迴呼叫了多少次：
不難從圖中看出，做了大量重複工作，以n=2的節點為例，分別在n=4和n=3的時候都被呼叫了。根據上圖，可以給出遞迴呼叫次數的乙個公式，假設t(n)表示cut_rod第二個引數為n時的呼叫次數，t(0)這時候是為1的，因為根結點的第一次呼叫也要算進去。於是有：
t(n)=1+t(0)+t(1)+...+t(n-1)
使用歸納法，可以比較容易的得出：t(n)=2^n。
指數次冪的呼叫次數，顯然太大，我們稍微讓n大一點，則會讓整個過程變的漫長。
2. 動態規劃演算法
而實際上我們不需要在每次都去重新計算cut_rod的在n=2時的結果，只需要在第一次計算的時候將結果儲存起來，然後再需要的時候直接使用即可。這其實就是所謂的動態規劃演算法。
這裡的思路有兩種，一種叫帶備忘的自頂向下方法，是順著之前的**，當需要的時候去檢查是不是已經計算好了，如果是，則直接使用，如果不是，則計算，並儲存結果。第二種思路是自底向上方法，不論需不需要，先將子問題一一解決，然後再來解決更高一級的問題，但要注意的是，我們需要先從最小的子問題開始，依次增加規模，這樣每一次解決問題的時候，它的子問題都已經計算好了，直接使用即可。
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