深度理解鏈式前向星

我們首先來看一下什麼是前向星.

前向星是一種特殊的邊集陣列,我們把邊集陣列中的每一條邊按照起點從小到大排序,如果起點相同就按照終點從小到大排序,

並記錄下以某個點為起點的所有邊在陣列中的起始位置和儲存長度,那麼前向星就構造好了.

用len[i]來記錄所有以i為起點的邊在陣列中的儲存長度.

用head[i]記錄以i為邊集在陣列中的第乙個儲存位置.

那麼對於下圖:

我們輸入邊的順序為:

1 22 3

3 41 3

4 11 5

4 5那麼排完序後就得到:

編號: 1 2 3 4 5 6 7

起點u: 1 1 1 2 3 4 4

終點v: 2 3 5 3 4 1 5

得到:head[1] = 1 len[1] = 3

head[2] = 4 len[2] = 1

head[3] = 5 len[3] = 1

head[4] = 6 len[4] = 2

但是利用前向星會有排序操作,如果用快排時間至少為o(nlog(n))

如果用鏈式前向星,就可以避免排序.

我們建立邊結構體為:

struct edge

int next;

int to;
int w;

另外還有乙個陣列head,它是用來表示以i為起點的第一條邊儲存的位置,實際上你會發現這裡的第一條邊儲存的位置其實

在以i為起點的所有邊的最後輸入的那個編號.

head陣列一般初始化為-1,對於加邊的add函式是這樣的:

void add(int u,int v,int w)

edge[0].to = 2; edge[0].next = -1; head[1] = 0;

edge[1].to = 3; edge[1].next = -1; head[2] = 1;

edge[2].to = 4; edge[2],next = -1; head[3] = 2;

edge[3].to = 3; edge[3].next = 0; head[1] = 3;

edge[4].to = 1; edge[4].next = -1; head[4] = 4;

edge[5].to = 5; edge[5].next = 3; head[1] = 5;

edge[6].to = 5; edge[6].next = 4; head[4] = 6;

很明顯,head[i]儲存的是以i為起點的所有邊中編號最大的那個,而把這個當作頂點i的第一條起始邊的位置.

這樣在遍歷時是倒著遍歷的,也就是說與輸入順序是相反的,不過這樣不影響結果的正確性.

比如以上圖為例,以節點1為起點的邊有3條,它們的編號分別是0,3,5 而head[1] = 5

我們在遍歷以u節點為起始位置的所有邊的時候是這樣的:

for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)

那麼就是說先遍歷編號為5的邊,也就是head[1],然後就是edge[5].next,也就是編號3的邊,然後繼續edge[3].next,也

就是編號0的邊,可以看出是逆序的.

【儲存】**鏈式前向星

鏈式前向星是一種相當有效的儲存方式，是一種靜態的鍊錶式儲存，將前向星改寫為鏈式前向星可以避免排序帶來的複雜度（普通前向星需要排序，一般選用基數排序），以下開始討論鏈式前向星。

對於這個圖而言，有一輸入順序如下：

1 2

2 33 4
1 34 1
1 54 5

struct edge2

;edge2 edge[maxn];

如果乙個結點的出度大於1，則其中結點編號最大的結點的next將指向結點編號次之的結點。舉個例子，從結點1出發，結點編號最大的是結點5，結點5的next將會是3，而結點3的next將會是結點2，而到了結點2之後結點1的所有出邊都已經被處理了，所有結點2的next將會是-1，這樣子將可以找到對於結點1的所有直接相接的結點（注意：遍歷時結點是由大到小遍歷的，即是逆序的）。當檢測到next的值為-1時會退出當前遍歷。

簡單概括來說就是對於第i條邊的終點，比如說輸入第一組邊（1， 2）的時候，edge[0].to = 2（陣列從0開始儲存）。

這裡有乙個要注意的點，如果是有向圖，那麼只要處理一次就夠了。對於乙個無向圖的話，就需要來回存一次，對於無向圖的具體存法可以看文末給出的題目和相關**。

很明顯這個就是用來存邊的權重的乙個變數，這裡不再多討論。

然後，我們還需要乙個head陣列，這個head陣列和next是這個鏈式儲存結構的關鍵所在！
那麼這個head陣列用來存什麼呢？對於你輸入的邊，用來存以i為起點的邊的儲存位置。那麼如果以i為起點的邊出度大於1怎麼辦？此時head[i]會存入在輸入中最後輸入的以i為起點的編號。比如說對於結點1，它的出度為3，由先往後分別輸入了（1， 2）（1， 3）（1， 5），最後存入head的就會是5（2和3其實也有被儲存的時候，但是後來會被5覆蓋掉），即結果就是head[1] = 5。

void build(int u, int v, int w)

這個讀入的過程同樣推薦用筆算一次，可以很好的幫助理解。這裡提一下關於head[u]的問題，以以1為起點的邊為例子，第一次讀入（1，2）的時候，很明顯，head[u] = -1的，即head[1] = -1。那麼下面的head[u]又是幹什麼的呢？還是以「以1為起點的邊」作為例子，（1， 2）的時候，head[1] = -1；然後在「head[u] = k++」這一行把這個值記錄下來，簡單來說就是u這個值在第幾組輸入的邊裡出現過，放到這個例子裡就是head[1] = 0;而後，讀入（1，3）（1，5）的時候， head[1]的值會再次被重新整理，最後得出的head[1] = 5。

edge[0].to = 2;     edge[0].next = -1;      head[1] = 0;

edge[1].to = 3; edge[1].next = -1; head[2] = 1;
edge[2].to = 4; edge[2],next = -1; head[3] = 2;
edge[3].to = 3; edge[3].next = 0; head[1] = 3;
edge[4].to = 1; edge[4].next = -1; head[4] = 4;
edge[5].to = 5; edge[5].next = 3; head[1] = 5;
edge[6].to = 5; edge[6].next = 4; head[4] = 6;

void solve(int num)

}

轉回上文中有向圖的例項，迴圈的主要作用就是對擁有同一起點的邊進行跳轉（比如說從（1，5）轉到（1， 3）再轉到（1， 2），就是我前文所寫的next的作用，相當於乙個靜態的鍊錶），而遞迴體主要就是dfs（比如說從（1， 3）到（3， 4）再到（4， 5）再到（4， 1），這裡同樣推薦用筆寫一寫，會清晰很多）。這樣子我們就成功使用鏈式前向星來存下了乙個圖，並能夠對它進行遍歷。

然後也有一道不錯的題可以用鏈式前向星來做，比如上文提到的luogu2420（其實我就是因為這道題才知道這個的...），可以去做一下，**放在另一篇博文裡，這裡就不多提及了。

深度理解鏈式前向星

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