基本資料結構樹簡介

一、什麼是樹

樹是乙個有限結點組成的集合。可以用遞迴的方式來定義一棵樹：樹可以是乙個空集，若非空，則一棵樹由乙個根（root）結點 r 以及 0 個或多個非空的（子）樹 t1、t2、t3、...,tk 組成，這些子樹中的每一棵的根都被來自根 r 的一條有向的邊（edge）所連線。每一棵子樹的根叫做根 r 的兒子（child），而 r 是每一棵子樹的根的父親（parent）。

樹的幾個概念：

1）樹葉（leaf）：從上述的遞迴定義可以知道，一棵樹是由 n 個結點和 n-1 條邊組成的集合。每個結點都可以有零個或任意多個兒子，沒有兒子的結點稱為樹葉（leaf）；

2）兄弟（sibling）：具有相同父親的結點稱為兄弟（sibling）；

3）路徑（path）：從結點 n1 到 nk 的路徑定義為結點 n1、n2、n3、...、nk 的乙個序列，使得對於 1 <= i <= k，結點 ni 是 ni+1 的父親。這個路徑的長為該路徑上的邊的條數，即 k-1。從每乙個結點到它自己有一條長為 0 的路徑。在一棵樹中，從根到每個結點恰好存在一條路徑。

4）深度（depth）：對於任意結點 ni，ni 的深度為從根到 ni 的唯一路徑的長，根的深度為0；

5）高（height）：對於任意結點 ni，ni 的高為從 ni 到一片樹葉的最長路徑的長，樹的高等於它的根的高（只有乙個根結點的樹的高度為0，空樹的高度為 -1）；

6）結點的度：乙個結點的兒子的個數。

圖 1-1 樹

如圖所示，為一棵樹，其中，a是根結點；b、c、d、e、f 為 a 的兒子，a 為它們的父親；b 和 c有相同的父親，它們是兄弟（sibling）；從結點 a 到結點 m 的路徑為 a、d、h、m；結點 b 的深度為1；結點 d 的高度為 3；整棵樹的高度為 4。

二、二叉樹

二叉樹是一棵樹，其中每個結點最多有兩個兒子，分別為左子結點和右子結點。二叉樹的平均深度是 o(√n)。

2.1 二叉樹的實現

因為一棵二叉樹的每個結點最多只能有兩個子結點，故而我們可以用指標直接指向它們。樹結點的宣告在結構上類似於雙鏈表的宣告，在宣告中，乙個結點由關鍵字（key）和兩個指向其他結點的指標（left 和 right）組成：

typedef int elementtype;
struct
treenode ;
typedef 
struct treenode *ptrtonode;
typedef ptrtonode binarytree;

這段**宣告了乙個結構，該結構包含乙個 elementtype 型別的資料，用於儲存結點資料；乙個 left 指標，指向結點的左子樹；和乙個 right 指標，指向結點的右子樹。

2.2 二叉樹的遍歷

按一定的順序，依次訪問二叉樹中的所有結點的操作稱為遍歷。有三種方式可以對二叉樹進行遍歷，以下面這幅圖為例進行介紹：

圖 2-1 二叉樹

1）先序遍歷：

先訪問根結點，然後遍歷左子樹，再遍歷右子樹。對圖 2-1 所示的二叉樹進行先序遍歷結果為：a-b-d-g-h-e-c-f-i-j。先序遍歷一棵二叉樹的c語言實現如下：

/*
先序遍歷，遞迴實現 
*/void preorderrecursion(binarytree t)
}

上述**用遞迴的方式實現了先序遍歷二叉樹。需要注意的是判斷條件，要時刻判斷二叉樹是否為空，這在遞迴中尤為重要。遞迴實現先序遍歷的**十分簡潔且易懂。但是，遞迴呼叫的空間複雜度較大，當輸入規模很大時，會占用相當多的記憶體，也容易造成堆疊的溢位。

可以使用非遞迴的方式來實現先序遍歷，大致思想如下：首先，將根結點儲存到乙個資料結構裡，然後訪問左子樹，待左子樹訪問完後，取出根結點，再訪問右子樹；每訪問乙個子樹之前，都將這棵子樹的根結點儲存，待需要訪問其右子樹時再取出。可以知道的是，先儲存進去的結點資料後取出，是乙個**先出結構，因此使用棧來儲存根結點的資料十分合適。

2）後序遍歷：

先遍歷左子樹，再遍歷右子樹，最後訪問根結點。對圖 2-1 所示的二叉樹進行後序遍歷的結果為：g-h-d-e-b-i-j-f-c-a。

/*
後序遍歷，遞迴實現 
*/void postorderrecursion(binarytree t)
}

3）中序遍歷：

先遍歷左子樹，然後訪問根結點，再遍歷右子樹。對圖 2-1 所示的二叉樹進行中序遍歷的結果為：g-d-g-b-e-a-c-i-f-j。

/*
中序遍歷，遞迴實現 
*/void inorderrecursion(binarytree t)
}

三、一些特殊的二叉樹3.1 滿二叉樹滿二叉樹是一棵深度為 k,且有 2^(k-1) 個結點的二叉樹，如下圖所示：

圖 2-2 滿二叉樹

這就是乙個滿二叉樹，可以看到，滿二叉樹的所有葉子都在同一層 —— 最後一層，非葉子結點的度一定為2。在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點數是最多的，葉子數也是最多的。

3.2 完全二叉樹

完全二叉樹，除了最後一層外，其餘層都是滿的，且最後一層的葉子結點都幾種在樹的左邊。滿二叉樹就是完全二叉樹的乙個特例。如下圖：

圖 2-3 完全二叉樹

3.3 二叉查詢樹（二叉排序樹）

二叉查詢樹是二叉樹的一種，更適合於進行查詢操作。對於二叉查詢樹，樹中的每個結點 x 的左子樹中所有關鍵字的值小於 x 的關鍵字值，而它的右子樹中所有關鍵字值大於 x 的關鍵字值。這意味著，該樹的所有元素可以以某種統一的方式進行排序。二叉查詢樹的平均深度是 o(logn)。

圖 2-4 二叉查詢樹

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