C語言實現快速冪的遞迴與迭代求解

1. 問題描述：

給定三個正整數a，b（a < 10 ^ 9，b < 10 ^ 18，1 < m < 10 ^ 9）求解出a ^ b % m

2. 思路分析：

① 對於上面這個問題，最簡單的思路是使用乙個迴圈來進行累乘，直到累乘的次數等於了b那麼迴圈就結束了，但是假如按照這樣的思路來解決，對於o（b）的時間複雜度為o（10 ^ 8）都比較難支援了，更何況是10 ^ 18呢？所以上面的解法是不行的

② 這裡需要使用到快速冪的計算，首先我們可以使用遞迴的方法來進行求解，下面是求解的式子：

1）如果b是奇數，那麼有 a ^ b = a * a ^ （b - 1）;

2）如若b是偶數，那麼有a ^ b = a ^ （b / 2） * a ^ （b / 2）;

從上面的式子我們可以知道對於b是奇數的情況下是能夠轉化為偶數的，而b是偶數的情況下我們是可以先轉換為b / 2的情況，在經過若干次的轉換之後那麼最後到達了遞迴的邊界就是b變成了0的情況，這個時候我們直接返回1就可以了，a ^ 0 = 1

③ 比如要求解出 2 ^ 10，我們需要經過下面的步驟：

1）由10是偶數因此先要求解 2 ^ 5，然後2 ^ 10 = 2 ^ 5 * 2 ^ 5;

2）對於2 ^ 5來說，5是奇數，所以先要求解出2 ^ 4，2 ^ 5 = 2 * (2 ^ 4)

3）對於2 ^ 4來說，4是偶數，所以先要求解出2 ^ 2，2 ^ 4 = 2 ^ 2 * 2 ^ 2

4）對於2 ^ 2來說，2是偶數，所以先要求解出2 ^ 1，2 ^ 2 = 2 ^ 1 * 2 ^ 1

5）對於2 ^ 0來說，1是奇數，所以先要求解出2 ^ 0，2 ^ 1 = 2 * 2 ^ 0

6）2 ^ 0 = 1遞迴結束

3. 下面是具體的**：

#includetypedef long long ll;
ll binarypow(ll a, ll b, ll m)
} int main(void)

4. 除了上面的遞迴求解的方法之外，我們還可以使用遞推的方法來進行求解，思路分析如下：

① 首先比如我們需要求解出2 ^ 10，10的二進位制形式為1010，所以2 ^ 10 = 2 ^ 8 * 2 * 2得到，而8，2對應的是10這個冪的二進位制位上是否是1,，這樣我們使用遞推的思路就比較清晰了，下面是具體的步驟：

1）初始的時候可以令ans = 1

2）判斷b的二進位制位數是否是1，使用b & 1 == 1來進行判斷，b & 1進行位與操作這樣比 b % 2 == 1來判斷的執行速度會更快

3）令a平方，並且b後移1位相當於是b /= 2

4）只要是b大於0那麼就回到2）

5. 下面是具體的**：

#includetypedef long long ll;
ll binarypow(ll a, ll b, ll m)
a = a * a % m;
//b除以2 
b >>= 1; 
} return ans; 
} int main(void)