生成樹相關問題整理

摘要：

在對最小生成樹演算法有一定理解後，我們對典型的最小生成樹題型應該不難解決，但是對於由最小生成樹模型變形而來的幾種模型，我們仍需做一次總結與記錄。

首先我們需要提出最小生成樹幾個性質，便於推導演算法；然後我們將介紹6種最小生成樹相關問題模型，並討論一般解法與更優解法；其中有的解法顯而易見，接受起來也很簡單，但有的解法卻需要從理論上邏輯嚴密的進行推導，構造演算法並證明演算法的正確性，這部分難度稍大。

這6個相關問題分別是：增量最小生成樹，最小瓶頸生成樹，最小瓶頸路，每對節點的最小瓶頸路，次小生成樹，最小有向生成樹。

圖論中的2個性質：

在此不給出證明。

增量最小生成樹

問題描述：

從包含n個點的空圖開始，依次加入m條帶權邊。每加入一條邊，輸出當前圖中的最小生成樹權值（如果當前圖不連通，則輸出無解）。

解題思路：

如果每次重新求完整的最小生成樹問題，總時間複雜度高達o(m^2 log n)。根據迴路的性質，可以得到如下改進演算法：

每次求出新的最小生成樹後，把其它的邊刪除。由於每次只需計算乙個n條邊（原生成樹有 n - 1條，新加入一條）的圖的最小生成樹，kruskal演算法的時間複雜度降為o(n log n)，總時間複雜度為o(nm log n)。

加入一條邊e = (u, v)之後，圖中恰好包含乙個環。根據迴路性質，刪除該回路上權值最大的邊即可，因此只需在加邊之前的mst上找到u到v的唯一路徑上的權值最大的邊，再和e比較，刪除權值較大的一條。由於路徑唯一，可以用dfs或bfs找到這條u到v的路徑，總時間複雜度為o(nm)。

問題描述：

給出加權無向圖，求一棵生成樹，使得最大邊權值盡量小。

解題思路：

由於只關心最大邊權值，我們可以從乙個空圖開始，按照權值從小到大的順序依次加入各條邊，則圖第一次連通時，該圖的最小生成樹就是原圖的最小瓶頸生成樹。可以發現，原圖的最小生成樹就是一棵最小瓶頸生成樹（但不是每棵最小瓶頸生成樹都是最小生成樹）。

最小瓶頸路

問題描述：

給定加權無向圖的兩個節點u和v，求出從u到v的一條路徑，使得路徑上最長邊盡量短。

解題思路：

這個問題可以用二分法+bfs解決，但我們有更好的演算法。先求出這個圖的最小生成樹，則起點和終點在樹上的唯一路徑就是我們要找的路徑，這條路徑上的最長邊就是問題的答案。

每對結點間的最小瓶頸路

問題描述：

給出加權無向圖，求每兩個節點u和v之間的最小瓶頸路的最大邊長f(u,v)。

解題思路：

先求最小生成樹。接下來，用dfs把最小生成樹變成有根樹，同時計算f(u,v)，當新訪問乙個節點u時，考慮所有已經訪問過的老節點x，更新f(x,u) = max(f(x,v) , w(u,v))，其中v是u的父節點。每個f(u,v)只需經過常數時間計算，因此是時間複雜度為o(n^2)。

問題描述：

把所有生成樹按照權值之和從大到小的順序排列，求排在第二位的生成樹。注意，如果最小生成樹不唯一，次小生成樹的權值與最小生成樹相同。

解題思路：

次小生成樹不會與最小生成樹完全相同，因此可以列舉最小生成樹中不在次小生成樹**現的邊。注意最小生成樹只有n-1條邊，所以只需列舉n-1次。每次在剩下的邊裡求一次最小生成樹，則這n-1棵「缺一條邊的圖」的最小生成樹中權最小的就是原圖的次小生成樹。

列舉要加入哪條新邊。在最小生成樹上加一條邊u-v之後，圖上會出現一條迴路，因此刪除的邊必須在最小生成樹上u到v的路徑上，且是這條路徑上的最長邊。可以證明，次小生成樹一定可以由最小生成樹加一條邊再刪一條邊得到（稱為邊交換），因此只需按照「每對節點之間的最小瓶頸路」的方法求出每對節點u和v在最小生成樹中唯一路徑的最大邊權maxcost[u][v]，則剩下的部分只需要o(m)時間（列舉所有m-n+1條邊進行交換，每次花o(1)時間求出新生成樹的權值）。總時間複雜度為o(n^2)。

問題描述：

給定乙個有向帶權圖g和其中乙個節點u，找出乙個以u為根節點，權和最小的有向生成樹。有向生成樹（directed spanning tree）也叫樹形圖（arborescence），是指乙個類似樹的有向圖，滿足以下條件：

不難發現，如果樹形圖的節點數為n，它的邊數一定為n-1，且樹形圖中不存在有向環。

解題思路：

固定根的最小樹形圖可以用朱-劉演算法解決。

首先是預處理，刪除自環並判斷根節點是否可以到達其它所有節點。如果不是，輸出無解並終止程式。

接下來是演算法的主過程：

首先，給所有非根節點擊擇一條權最小的入邊。如果選出來的n-1條邊不構成圈，則可以證明這些邊就形成了乙個最小樹形圖，否則把每個圈各收縮成乙個點，繼續上述過程。

縮圈之後，圈上所有邊都消失了，因此在最終答案裡需要加上這些邊權之和。但這樣做有個問題：假設在演算法的某次迭代中，把圈c收縮為人工節點v，則在下一次迭代中，給v選擇的入弧將與在圈c中的入弧發生衝突。（假設x在圈中已經有了入弧y->x）因此如果收縮之後又選了乙個入弧z->x，必須把弧y->x從最小樹形圖中刪除。這等價於把弧z->x的權值減少了y->x的權值。

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