對於乙個邊權為正的圖，我們可以利用dijkstra演算法求出單源最短路徑（sssp），對於常規的dijkstra演算法，其複雜度為 o(n
2)
o(n^2)
o(n2
) ,顯然在 n
nn 較大的時候，可能導致耗時過長，通過優化我們可以獲得一種更加快速的dijkstra演算法，時間複雜度為 o(m
logn
)o(mlogn)
o(mlog
n)。在傳統的dijkstra演算法中，在d[n]中尋找未被訪問且最小的d[i]採用的是遍歷陣列的方式，這樣會導致時間的複雜度變高，既然是輸出最小的權值邊，那麼我們可以用stl中的priority_queue的優先佇列來實現這一操作，可以實現加速。當然，為了實現這一操作，我們儲存圖也不再利用簡單的鄰接矩陣，而是先儲存邊的資料，再將邊的資料儲存到vector陣列中，有點像鄰接表,但不是鄰接表。
**源於《演算法競賽入門經典（第2版）》（紫書）
struct edge};
struct heapnode};
struct dijkstra
void
addedge
(int from
, int to, int dist)
void
dijkstra
(int s));
while(!
q.empty()
));}
}}}}
;
題目：j-free：
題意：給定乙個圖，有 n
nn 個點， m
mm 個邊，每個邊的權值為 l
ll, 你可以讓圖上至多 k
kk 個邊的權值變為 0
00，請問，在這樣的操作過後，從頂點 s
ss 到頂點 t
tt 的最短路徑是多少。
題解：在了解了上述的關於堆優化的dijkstra演算法過後，對於解這題很有幫助。由於到點的距離與 k
kk 有了關係，我們不能再用原先的一維陣列d[n]來儲存到各個點的距離的最短路徑，而是要開乙個二維陣列dis[n][m],其中dis[i][j]表示從源點到頂點 i
ii 在使 j
jj 個邊的權值變成 0
00 的情況下的最短路徑。這樣我們就很容易地可以獲得答案了。那麼要如何建立這個二維陣列dis[n][m]呢，在原先的dijkrstra演算法中，我們向q中push乙個heapnode的條件是d[e.to] > d[u] + e.dist,在這裡由於多了乙個考慮因素 k
kk ,所以我們的heapnode中要增加乙個變數ktime來表示刪掉權值邊的個數。同時，push的判定條件，也由原來的乙個變成了兩個，乙個是在ktime不變的情況下是否push，另乙個是在ktime+1的情況下是否push。這樣就可以完美地構建出二維陣列的dis[n][m]了。最後在尋找 ans
ansan
s 時，只需要遍歷dis[t]即可。
**：
#include .h>
using namespace std;
const int maxn =
1e3+5;
typedef long long ll;
#define inf
1e9+
5int n, m,s,
t, k;
ll dis[maxn]
[maxn]
;struct edge};
struct heapnode};
struct dijkstra
void
addedge
(int from
, int to, int dist)
void
dijkstra
(int s));
while(!
q.empty()
));}
if(ktime[ktime]
[ktime+1]
));}
}}}}
;int main()
dij.
dijkstra(s
);ll ans =
inf;
for(int i =
0; i <= k; i++
)printf
("%lld"
, ans)
;return0;
}
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