LeetCode 尋找兩個有序陣列的中位數

給定兩個大小為 m 和 n 的有序陣列 nums1 和 nums2。

請你找出這兩個有序陣列的中位數，並且要求演算法的時間複雜度為 o(log(m + n))。

你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]

nums2 = [2]

則中位數是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]

nums2 = [3, 4]

則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5

m為陣列a元素數量

n為陣列b元素數量

通過上圖我們可以得知：

1.在合併後的大陣列中，中位數的作用就是把陣列分成元素數量相同的兩部分，這兩部分的元素是連續的，並且右側的元素大於等於或者左側的元素（也就是橙色元素大於或者等於綠色元素）

2.大陣列中的元素不是來自於陣列a就是來自於陣列b，也就是說，陣列a和陣列b肯定是由分割線兩側的元素混合構成的（先不考慮特殊情況），由於他們都是有序陣列，那麼陣列a和陣列b中肯定也存在兩條這樣的分割線i和j，我們只需要在a陣列和b陣列中找到確切的i分割線和j分割線的位置，就可以確定大陣列中分割線的位置，從而就可以確定中位數的位置

3.那麼怎麼尋找合適的i和j呢？

i和j滿足的要求：i+j=(n+m+1)/2   （+1是為了保證元素總數量無論是奇數還是偶數該公式都成立）

根據公式知道，i和j只要確定了乙個，另外乙個也就確定了，所以我們只需要在陣列a中尋找合適的i，那什麼樣的i才是合適的i呢？

合適的i和j必須要滿足以下要求：

1）a[i]>=b[j-1]

2）b[j]>=a[i-1]

也就是保證所有橙色元素都大於或者等於綠色元素，換句話說就是為了保證大陣列中右側元素都大於或者等於左側元素，只有這樣的i和j才是合適的，才可以根據i和j確定大陣列中位數的位置

那麼當i和j不合適時，我們應該怎麼調整呢？我們調整i，j也會隨著變化，所有我只對i進行調整就好

當a[i]當b[j]我們可以通過二分的方式來移動i

當找到合適的i和j後

如果總元素數量為奇數，那麼左側最大元素max（a[i-1],b[j-1]）就是中位數

如果總元素數量為偶數，那麼左側最大元素和右側最小元素的平均值就是中位數

ps:右側最小元素=min（a[i],b[j]）

需要處理幾種特殊情況：

1）如果b元素數量比a元素數量少的話，通過i得到的j值在陣列b中可能會越界

解決方案：如果陣列a的元素數量比陣列b的元素數量多，那麼交換a，b陣列的元素，也就是說，i是在陣列元素數量少的陣列上移動的，這樣通過i得到的j值在b陣列肯定不會越界

2）i等於0的情況

這種情況下，i-1會越界，那麼左側的最大元素為b[j-1]就好

3）j等於0的情況

這種情況下，j-1會越界，那麼左側的最大元素為a[i-1]就好

4）i等於m的情況

這種情況下，a[m]元素取不到，也越界了，那麼右側最小元素為b[j]就好

5）j等於n的情況

這種情況下，b[j]元素取不到，也越界了，那麼右側最小元素為a[i]就好

時間複雜度分析：對a陣列進行二分尋找合適的i，又因為a陣列是元素數量最少的陣列，所以該演算法的時間複雜度為：o(log (min(m,n)))

空間複雜度：o（1）

code：

double findmediansortedarrays(vector& a, vector&b)

int low=0
; 
int high=m;
int k=(m+n+1)/2
; 
while(low<=high)//
二分a陣列
else
if(i>low&&a[i-1]>b[j])//
i太大，i需要左移
else
//找到了合格的i，j
else
if(j==0
) 
else
if((m+n)%2==1)//
如果兩個陣列的元素數量為奇數，那麼左側的最大值就是中位數
return maxleft*1.0
; 
intminright;
//特殊情況
if(i==m)
else
if(j==n)
else
return (maxleft+minright)/2.0;//
元素總數量為偶數，那麼中位數等於左側最大值和右側最小值的平均值
} }
return
0.0;
}

當x當x>y時，說明第k個數字於b陣列的第k/2個數的前半段

問題規模縮小了一般，然後遞迴處理就行了（特殊情況的細節沒有說明，這裡只講解一下大概思路，因為該方法時間複雜度較高，為o(log(m+n))

具體請參考：

leetcode尋找兩個有序陣列的中位數

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