上一章節中，我們介紹了混合線性模型中的模型假定，這一章節，用乙個動物育種的示例，介紹固定因子，隨機因子以及相關矩陣的推導，明確什麼是g矩陣，什麼是r矩陣，以及他們和方差組分的關係。直和和直積也是重要的概念，特別是多個隨機因子以及隨機因子有互作時，經常用到，這裡用r語言程式設計的形式介紹直和與直積的計算方法。
混合線性模型y=x
b+zu
+ey = xb + zu + e
y=xb+z
u+e[ue
]∼n(
[00]
,[g(
σg)0
0r(σ
γ)])
\begin u\\e \end \sim n (\begin0\\0\end, \begin g(\sigma_g) &0\\ 0 &r(\sigma_)\end)
[ue]∼
n([0
0],
[g(σ
g)0
0r(
σγ)
])
舉個栗子：
比如這裡不同場的一些個公牛（sire）的體重（y），公牛之間是有親緣關係的，如果要分析這個資料，公牛作為隨機因子，模型為：
w ei
ght=
mu+c
hang
+sir
e+eweight = mu + chang + sire + e
weight
=mu+
chan
g+si
re+e
假定：sir
e∼n(
0,σu
2i)sire \sim n(0,\sigma_^2i)
sire∼n
(0,σ
u2i)e∼
n(0,
σe2i
)e \sim n(0,\sigma_^2i)
e∼n(0,
σe2
i)那麼：g=σ
g2∗i
g = \sigma_g^2*i
g=σg2
∗ir =σ
e2∗i
r = \sigma_e^2*i
r=σe2
∗i如果，公牛之間是由親緣關係a的，那麼：
g =σ
g2∗a
g = \sigma_g^2*a
g=σg2
∗ay =x
b+zu
+ey = xb + zu + e
y=xb+z
u+e這裡b為固定因子的效應值，加入固定因子有多個，場，年，季，性別等等，那麼b 可以分解為：[b1, b2, b3,…]
x為固定因子對應的矩陣，x也可以分解為：[x1,x2,x3…]
同樣的道理，隨機因子和隨機因子的矩陣，也可以剖分為類似的形式，比如動物模型中，除了加性效應，還可以有母體效應，永久環境效應，窩別效應作為隨機因子。
3.1 概念解釋
直和（direct sum）和直積（direct product）是混合線性模型中經常用到的概念，下面用具體例子介紹直積和直和是如何通過r語言計算的。
比如下圖中，d為22的矩陣，f為22的矩陣，那麼直和就是講d和f作為對角線，非對角線為0，構成乙個44的矩陣。直積d的每個元素分別和f矩陣相乘，得到44的矩陣。
3.2 r語言實現直和和直積
函式構建
這裡直積我們用r的預設函式kronecker，為了方便操作，我們賦予它另乙個名稱：direct_product。
對於直和，我們構建了乙個函式，可以將兩個矩陣變成直和的結果。
一般混合模型中的假定都是sigma引數化的：
[ ue
]∼n(
[00]
,[g(
σg)0
0r(σ
γ)])
\begin u\\e \end \sim n (\begin0\\0\end, \begin g(\sigma_g) &0\\ 0 &r(\sigma_)\end)
[ue]∼
n([0
0],
[g(σ
g)0
0r(
σγ)
])這樣隨機效應的方差組分為sigma_g^2, 殘差的方差組分為sigma_e^2.但是也有另一種表示方法，即gamma引數化。
一般，我們假定:
γ g=
σg2σ
e2\gamma_g = \frac
γg=σe
2σg
2
這樣做的好處是方便指定初始值，只需要指定比例（比如根據遺傳力推導）即可，很方便，這樣，y的方差就變成了：
v ar
(y)=
σe2(
zgγg
z′+r
γe)var(y) = \sigma_e^2(zg_z' + r_)
var(y)
=σe2
(zg
γg
z′+r
γe
)
張勤. 動物遺傳育種中的計算方法[m]. 科學出版社, 2007.吳密霞. 線性混合效應模型引論[m]. 科學出版社, 2013.
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