我們先看幾條定義：
在字串s中，取任意i<=j，那麼在s中擷取從i到j的這一段就叫做s的乙個子串
字尾就是從字串的某個位置i到字串末尾的子串，我們定義以s的第i個字元為第乙個元素的字尾為suff(i)
把s的每個字尾按照字典序排序，
字尾陣列sa[i]就表示排名為i的字尾的起始位置的下標
而它的對映陣列rk[i]就表示起始位置的下標為i的字尾的排名
簡單來說，sa表示排名為i的是啥，rk表示第i個的排名是啥
一定要記牢這些陣列的意思，後面看**的時候如果記不牢的話就絕對看不懂
先說最暴力的情況，快排(n log n)每個字尾，但是這是字串，所以比較任意兩個字尾的複雜度其實是o(n)，這樣一來就是接近o(n^2 log n)的複雜度，資料大了肯定是不行的，所以我們這裡有兩個優化。
ps：本文中的^表示平方而不是異或
首先讀入字串之後我們現根據單個字元排序，當然也可以理解為先按照每個字尾的第乙個字元排序。對於每個字元，我們按照字典序給乙個排名(當然可以並列)，這裡稱作關鍵字。
接下來我們再把相鄰的兩個關鍵字合併到一起，就相當於根據每乙個字尾的前兩個字元進行排序。想想看，這樣就是以第乙個字元(也就是自己本身)的排名為第一關鍵字，以第二個字元的排名為第二關鍵字，把組成的新數排完序之後再次標號。沒有第二關鍵字的補零。
既然是倍增，就要有點倍增的樣子。接下來我們對於乙個在第i位上的關鍵字，它的第二關鍵字就是第(i+2)位置上的，聯想一下，因為現在第i位上的關鍵字是suff(i)的前兩個字元的排名，第i+2位置上的關鍵字是suff(i+2)的前兩個字元的排名，這兩個一合併，不就是suff(i)的前四個字元的排名嗎？方法同上，排序之後重新標號，沒有第二關鍵字的補零。同理我們可以證明，下一次我們要合併的是第i位和第i+4位，以此類推即可……
ps：本文中的「第i位」表示下標而不是排名。排名的話我會說「排名為i」
那麼我們什麼時候結束呢？很簡單，當所有的排名都不同的時候我們直接退出就可以了，因為已經排好了。
顯然這樣排序的速度穩定在(log n)
如果我們用快排的話，複雜度就是(n log^2 n) 還是太大。
這裡我們用一波基數排序優化一下。在這裡我們可以注意到，每一次排序都是排兩位數，所以基數排序可以將它優化到o(n)級別，總複雜度就是(n log n)。
介紹一下什麼是基數排序，這裡就拿兩位數舉例
我們要建兩個桶，乙個裝個位，乙個裝十位，我們先把數加到個位桶裡面，再加到十位桶裡面，這樣就能保證對於每個十位桶，桶內的順序肯定是按個位公升序的，很好理解。
話說這個費了我好長時間，就為了證明幾條定理……懶得證明的話背過就行了，不過筆者還是覺得知道證明用起來更踏實一些，話說我的證明過程應該比較好懂，適合初學者理解……
我們定義lcp(i,j)為suff(sa[i])與suff(sa[j])的最長公共字首
字尾陣列這個東西，不可能只讓你排個序就完事了……大多數情況下我們都需要用到這個輔助工具lcp來做題的
顯而易見的
lcp(i,j)=lcp(j,i);
lcp(i,i)=len(sa[i])=n-sa[i]+1;
這兩條性質有什麼用呢？對於i>j的情況，我們可以把它轉化成i我們每次依次比較字元肯定是不行的，單次複雜度為o(n)，太高了，所以我們要做一定的預處理才行。
lcp lemma
lcp(i,k)=min(lcp(i,j),lcp(j,k)) 對於任意1<=i<=j<=k<=n
證明：設p=min，則有lcp(i,j)≥p,lcp(j,k)≥p。
設suff(sa[i])=u,suff(sa[j])=v,suff(sa[k])=w;
所以u和v的前p個字元相等，v和w的前p個字元相等
所以u和w的前p的字元相等，lcp(i,k)>=p
設lcp(i,k)=q>p 那麼q>=p+1
因為p=min，所以u[p+1]!=v[p+1] 或者 v[p+1]!=w[p+1]
但是u[p+1]=w[p+1] 這不就自相矛盾了嗎
所以lcp(i,k)<=p
綜上所述lcp(i,k)=p=min
lcp theorem
lcp(i,k)=min(lcp(j,j-1)) 對於任意1這個結合lcp lemma就很好理解了
我們可以把i~k拆成兩部分i~(i+1)以及(i+1)~k
那麼lcp(i,k)=min(lcp(i,i+1),lcp(i+1,k))
我們可以把(i+1)~k再拆，這樣就像乙個dp，正確性顯然
我們設height[i]為lcp(i,i-1)，1由lcp theorem可得，lcp(i,k)=min(height[j]) i+1<=j<=k
那麼height怎麼求，列舉嗎？nonono，我們要利用這些字尾之間的聯絡
設h[i]=height[rk[i]]，同樣的，height[i]=h[sa[i]];
那麼現在來證明最關鍵的一條定理：
h[i]>=h[i-1]-1;
證明過程來自曲神學長的blog，我做了一點改動方便初學者理解：
首先我們不妨設第i-1個字串按排名來的前面的那個字串是第k個字串，注意k不一定是i-2，因為第k個字串是按字典序排名來的i-1前面那個，並不是指在原字串中位置在i-1前面的那個第i-2個字串。
這時，依據height的定義，第k個字串和第i-1個字串的公共字首自然是height[rk[i-1]]，現在先討論一下第k+1個字串和第i個字串的關係。
第一種情況，第k個字串和第i-1個字串的首字元不同，那麼第k+1個字串的排名既可能在i的前面，也可能在i的後面，但沒有關係，因為height[rk[i-1]]就是0了呀，那麼無論height[rk[i]]是多少都會有height[rk[i]]>=height[rk[i-1]]-1，也就是h[i]>=h[i-1]-1。
第二種情況，第k個字串和第i-1個字串的首字元相同，那麼由於第k+1個字串就是第k個字串去掉首字元得到的，第i個字串也是第i-1個字串去掉首字元得到的，那麼顯然第k+1個字串要排在第i個字串前面。同時，第k個字串和第i-1個字串的最長公共字首是height[rk[i-1]]，
那麼自然第k+1個字串和第i個字串的最長公共字首就是height[rk[i-1]]-1。
到此為止，第二種情況的證明還沒有完，我們可以試想一下，對於比第i個字串的排名更靠前的那些字串，誰和第i個字串的相似度最高（這裡說的相似度是指最長公共字首的長度）？顯然是排名緊鄰第i個字串的那個字串了呀，即sa[rank[i]-1]。但是我們前面求得，有乙個排在i前面的字串k+1，lcp(rk[i],rk[k+1])=height[rk[i-1]]-1;
又因為height[rk[i]]=lcp(i,i-1)>=lcp(i,k+1)
所以height[rk[i]]>=height[rk[i-1]]-1，也即h[i]>=h[i-1]-1。
例題：luogu3809 字尾排序
注意上面那個題不用求lcp……看**建議先大略掃一遍，因為的確有點繞
#include#include#include#define rint register int
#define inv inline void
#define ini inline int
#define maxn 1000050
using namespace std;
char s[maxn];
int y[maxn],x[maxn],c[maxn],sa[maxn],rk[maxn],height[maxn],wt[30];
int n,m;
inv putout(int x)
rint l=0;
while(x) wt[++l]=x%10,x/=10;
while(l) putchar(wt[l--]+48);
}inv get_sa()
for (rint i=1; i<=n; ++i) putout(sa[i]),putchar(' ');
}inv get_height()
putchar(10);
for (rint i=1; i<=n; ++i) putout(height[i]),putchar(' ');
}int main()
字尾陣列 講解
子串 從原串中選取連續的一段，即子串 空串也是子串 字尾 suf k 為s k n 構成的子串 任何子串都是某個字尾的字首 最長公共字首lcp suf i suf j 將所有字尾suf 1 suf 2 suf n 按照字典序從小到大排序 暴力sortn2 logn 二分 hash nlog2n cm...
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