01揹包的變形問題揹包恰好裝滿

在看本文之前建議先看一下我之前發過的01揹包詳解。

在前面講到的01揹包問題中，現在我們把條件改為「求當揹包恰好裝滿時候取得的最大價值」。這樣的問題其實本質上和原始的01揹包問題區別不大，我們只需要做出一點小小的調整。

需要指出的是該問題其實可分為兩個問題。

（1）揹包能否恰好裝滿？

（2）如果能恰好裝滿，恰好裝滿時候的最大價值是多少？

為了便於理解，這裡給出乙個用陣列實現的01揹包**(空間複雜度未優化)，和之前用vector容器實現的原理是一樣的,

//01揹包--不要求正好裝滿
#include
using
namespace std;
#define max(n1,n2) n1>n2?n1:n2
intmain()
;//狀態轉移矩陣，這裡將f陣列全部初始化為0
for(
int i =
1; i <= n; i++
)for
(int i =
1; i <= n; i++)}
cout << f[v]
<< endl;
//輸出結果
}return0;
}

在普通的01揹包中，由於不要求恰好裝滿，我們採用的初始化方式為

int f[
1000]=
;//狀態轉移矩陣，這裡將f陣列全部初始化為0

這個初始化的方法意思是：對任意的乙個狀態，把當前的價值初始化為0，代表揹包為空時所包含的物體價值為0。即認為不管揹包當前容量，揹包是空的那麼價值就是0，，沒裝滿揹包的狀態都是有效的狀態，我們稱之為有效狀態。

當要求恰好裝滿時，我們就不可以這麼做了，因為我們認為揹包沒恰好裝滿的話，當前揹包的狀態無效，即無效狀態，只有恰好裝滿時候才是有效狀態。

我們不妨定義當揹包的狀態為無效狀態時，f[i]的值是負無窮，這樣我們就可以從狀態轉移矩陣中區分出有效狀態和無效狀態了。

先不關心如何計算f，有了這個定義，對於恰好裝滿的01揹包問題，我們只需要判斷f[v]中的值是否是負無窮，就知道揹包能否裝滿了。當f[v]中的值不是負無窮，我們接下來需要設計狀態轉移方程，使f[v]就是揹包恰好裝滿時候的最大價值。

首先觀察上面的**，轉移方程為

f[j]
=max
(f[j]
, f[j - v[i]
]+ w[i]
);

這段**時經過時間複雜度優化後的**，在優化前是

for
(int i =
1; i <= n; i++
)else
//如果揹包裝不下當前物體
}}

通過前面01揹包基本原理的講解，我們知道，這兩段**是等效的。

f[i][j] 的值是由 f[i - 1][j]，f[i - 1][j - w[i]] 來推導出來的，也就是 f[i][j] 的取值只與前面的狀態有關係。換句話說，所有的狀態都是從以前的狀態來推導出來的。再換句話說，所有的有效狀態是從之前的有效狀態和無效狀態推導出來的！！！

接下來是重點！！！

如果無效狀態無法推出有效狀態，我們就不必關心無效狀態（揹包沒裝滿）時候，揹包內物體的總價值。

因為揹包恰好裝滿時候我們只關心有效狀態，而無效狀態又無法推出有效狀態。

也就可以把所有無效狀態時揹包的總價值都設定為負無窮。

我們來證明下無效狀態無法推出有效狀態。

對於下面的狀態轉移方程

f[i]
[j]=
max(f[i -1]
[j], f[i -1]
[j - w[i]
]+ v[i]
);

（1）如果f[i - 1][j]和 f[i - 1][j - w[i]] 都是有效狀態，那麼f[i][j]是由有效狀態推出的。

（2）如果f[i - 1][j]是無效狀態， f[i - 1][j - w[i]] 是有效狀態：

此時f[i][j]揹包容量為j，f[i - 1][j - w[i]] 揹包容量為j - w[i]且是恰好裝滿的。從f[i - 1][j - w[i]] 變換到f[i][j]相當於向乙個已經裝了總體積為j - w[i]物體的揹包中放入乙個體積為w[i]的物體，新的容量為j與當前揹包容量j相同！！！

剛才我們說了無效狀態可以看作負無窮，於是 f[i - 1][j - w[i]] + v[i]作為有效狀態一定大於f[i - 1][j]，所以可以得到新的有效狀態f[i][j]。

所以此時f[i][j]是有效狀態且是由有效狀態f[i - 1][j - w[i]]推出的。

（3）如果f[i - 1][j]是有效狀態， f[i - 1][j - w[i]] 是無效狀態：

f[i - 1][j - w[i]] 是無效狀態說明當前的揹包內裝的物體體積小於j - w[i]，再放入乙個體積為w[i]的物體後容量小於j，也就是說f[i - 1][j - w[i]] + v[i]也是無效狀態。

此時因為f[i - 1][j]是有效狀態，所以一定大於無效狀態f[i - 1][j - w[i]] + v[i]，則f[i][j]是乙個由效狀態f[i - 1][j]推導出的有效狀態。

所以此時f[i][j]是有效狀態且是由有效狀態f[i - 1][j]推出的。

綜上，只有有效狀態可以推出有效狀態。

由於c++中最小的負整型為16進製制數 0x80000000，我們無法做到真正的負無窮。於是為了在計算無效狀態時候依然採用同樣的狀態轉移方程，我們需要用點小手段，即

#define inf 0x80000000

for
(int j = v; j >= v[i]
; j--
)

如果算出來的是無效狀態，強制賦值為0x80000000。

這樣就相當於模擬了負無窮加上乙個有限的正整數的計算過程，即負無窮加上任意有限正數還是負無窮。

綜上，我們發現，恰好裝滿與不是恰好裝滿只是在初始化過程上有差別而已。只需要在初始化時候把所有的無效狀態初始化為負無窮就可以了。但是，f[0]需要初始化為0，因為揹包容量為0時，裝的物體體積為0是有效狀態！

//01揹包--恰好裝滿
#include
using
namespace std;
#define max(n1,n2) n1>n2?n1:n2
#define inf 0x80000000
intmain()
//f[0]是有效狀態
f[0]
=0;//輸入每個物體的體積和價值
for(
int i =
1; i <= n; i++
)//動態規劃過程
for(
int i =
1; i <= n; i++)}
//判斷能否恰好裝滿揹包
if(f[v]
>0)
else
}return0;
}

01揹包的變形問題揹包恰好裝滿

01揹包變式要求恰好裝滿的01揹包

01揹包問題變形

NYOJ 311 完全揹包恰好裝滿完全揹包

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