1.導數定義：
導數和微分的概念
[公式] （1）
或者：[公式] （2）
2.左右導數導數的幾何意義和物理意義
函式 [公式] 在[公式] 處的左、右導數分別定義為：
左導數： [公式]
右導數： [公式]
3.函式的可導性與連續性之間的關係
th1: 函式 [公式] 在 [公式] 處可微 [公式] 在 [公式] 處可導
th2: 若函式在點 [公式] 處可導，則 [公式] 在點 [公式] 處連續，反之則不成立。即函式連續不一定可導。
th3: [公式] 存在 [公式]
4.平面曲線的切線和法線
切線方程 : [公式] 法線方程： [公式]
5.四則運算法則
設函式 [公式] 在點 [公式] 可導則
(1) [公式] [公式]
(2) [公式] [公式]
(3) [公式] [公式]
6.基本導數與微分表
(1) [公式] （常數）
[公式]， [公式]
(2) [公式] ( [公式] 為實數)
[公式]， [公式]
(3) [公式]
[公式]， [公式]
特例: [公式]， [公式]
(4) [公式]
[公式]
特例: [公式]， [公式] ，[公式]
(5) [公式]
[公式] ，[公式]， [公式]
(6) [公式]
[公式]， [公式]
(7) [公式]
[公式]， [公式]
(8) [公式]
[公式]， [公式]
(9) [公式]
[公式] ，[公式]
(10) [公式]
[公式]， [公式]
(11) [公式]
[公式]， [公式]
(12) [公式]
[公式]， [公式]
(13) [公式]
[公式] ，[公式]
(14) [公式]
[公式]， [公式]
(15) [公式]
[公式] ，[公式]
(16) [公式]
[公式]， [公式]
7.復合函式，反函式，隱函式以及引數方程所確定的函式的微分法
(1) 反函式的運算法則: 設 [公式] 在點 [公式] 的某鄰域內單調連續，在點 [公式] 處可導且 [公式] ，則其反函式在點 [公式] 所對應的 [公式] 處可導，並且有 [公式]
(2) 復合函式的運算法則:若 [公式] 在點 [公式] 可導,而 [公式] 在對應點 [公式] ( [公式] )可導,則復合函式 [公式] 在點 [公式] 可導,且 [公式]
(3) 隱函式導數 [公式] 的求法一般有三種方法：
1)方程兩邊對 [公式] 求導，要記住 [公式] 是 [公式] 的函式，則 [公式] 的函式是 [公式] 的復合函式。
例如 [公式] ， [公式] ， [公式] ， [公式] 等均是 [公式] 的復合函式。
對 [公式] 求導應按復合函式連鎖法則做。
2)公式法：由 [公式] 知 [公式] ,其中， [公式] ， [公式] 分別表示 [公式] 對 [公式] 和 [公式] 的偏導數
3)利用微分形式不變性
8.常用高階導數公式
（1） [公式]
（2） [公式]
（3） [公式]
（4） [公式]
（5） [公式]
（6）萊布尼茲公式：若 [公式] 均 [公式] 階可導，則
[公式] ，其中 [公式] ， [公式]
9.微分中值定理，，泰勒公式
th1:(費馬定理)
若函式[公式] 滿足條件：
(1)函式 [公式] 在 [公式] 的某鄰域內有定義，並且在此鄰域內恒有：
[公式] 或 [公式] ,
(2) [公式] 在 [公式] 處可導,則有 [公式]
th2:(羅爾定理)
設函式 [公式] 滿足條件：
(1)在閉區間 [公式] 上連續；
(2)在 [公式] 內可導；
(3) [公式]
則在 [公式] 內存在乙個 [公式] ，使 [公式]
th3: (拉格朗日中值定理)
設函式 [公式] 滿足條件：
(1)在 [公式] 上連續；
(2)在 [公式] 內可導；
則在 [公式] 內存在乙個 [公式] ，使 [公式]
th4: (柯西中值定理)
設函式 [公式] ， [公式] 滿足條件：
(1) 在 [公式] 上連續；
(2) 在 [公式] 內可導且 [公式] ， [公式] 均存在，且 [公式]
則在 [公式] 內存在乙個 [公式] ，使 [公式]
10.洛必達法則
法則ⅰ ( [公式] 型)
設函式 [公式] 滿足條件：
[公式] ;
[公式] 在 [公式] 的鄰域內可導，(在 [公式] 處可除外)且 [公式] ;
[公式] 存在(或 [公式] )。
則:[公式] 。
法則 [公式] ( [公式] 型)
設函式 [公式] 滿足條件：
[公式] ;
存在乙個 [公式] ,當 [公式] 時, [公式] 可導,且 [公式] ;
[公式] 存在(或 [公式] )。
則:[公式]
法則ⅱ( [公式] 型)
設函式 [公式] 滿足條件：
[公式] ; [公式] 在 [公式] 的鄰域內可導(在 [公式] 處可除外)且 [公式] ; [公式] 存在(或 [公式] )。
則： [公式] 。同理法則 [公式] ( [公式] 型)仿法則 [公式] 可寫出。
11.泰勒公式
設函式 [公式] 在點 [公式] 處的某鄰域內具有 [公式] 階導數，則對該鄰域內異於 [公式] 的任意點 [公式] ，在 [公式] 與 [公式] 之間至少存在乙個 [公式] ，使得： [公式] [公式]
其中[公式] 稱為 [公式] 在點 [公式] 處的 [公式] 階泰勒餘項。
令 [公式] ，則 [公式] 階泰勒公式： [公式] ……(1)
其中 [公式] ， [公式] 在0與 [公式] 之間，(1)式稱為麥克勞林公式。
常用五種函式在 [公式] 處的泰勒公式
(1) [公式]
或 [公式]
(2) [公式]
或 [公式]
(3) [公式]
或 [公式]
(4) [公式]
或 [公式] [公式]
(5) [公式] [公式] [公式]
或 [公式]
12.函式單調性的判斷
th1: 設函式 [公式] 在 [公式] 區間內可導，如果對 [公式] ，都有 [公式] （或 [公式] ），
則函式 [公式] 在 [公式] 內是單調增加的（或單調減少）。
th2: （取極值的必要條件）設函式 [公式] 在 [公式] 處可導，且在 [公式] 處取極值，
則 [公式] 。
th3: （取極值的第一充分條件）設函式 [公式] 在 [公式] 的某一鄰域內可微，且 [公式] （或 [公式] 在 [公式] 處連續，但 [公式] 不存在。）
(1) 若當 [公式] 經過 [公式] 時， [公式] 由「+」變「-」，則 [公式] 為極大值；
(2) 若當 [公式] 經過 [公式] 時， [公式] 由「-」變「+」，則 [公式] 為極小值；
(3) 若 [公式] 經過 [公式] 的兩側不變號，則 [公式] 不是極值。
th4: (取極值的第二充分條件)設 [公式] 在 [公式] 處有 [公式] ，且 [公式] ，則:
當 [公式] 時， [公式] 為極大值；
當 [公式] 時， [公式] 為極小值。
注：如果 [公式] ，此方法失效。
13.漸近線的求法
(1)水平漸近線
若 [公式] ，或 [公式] ，則
[公式] 稱為函式 [公式] 的水平漸近線。
(2)鉛直漸近線
若 [公式] ，或 [公式] ，則
[公式] 稱為 [公式] 的鉛直漸近線。
(3)斜漸近線
若 [公式] ，則
[公式] 稱為 [公式] 的斜漸近線。
14.函式凹凸性的判斷
th1: (凹凸性的判別定理）若在i上 [公式] （或 [公式] ），則 [公式] 在i上是凸的（或凹的）。
th2: (拐點的判別定理1)若在 [公式] 處 [公式] ，（或 [公式] 不存在），當 [公式] 變動經過 [公式] 時， [公式] 變號，則 [公式] 為拐點。
th3: (拐點的判別定理2)設 [公式] 在 [公式] 點的某鄰域內有三階導數，且 [公式] ， [公式] ，則 [公式] 為拐點。
15.弧微分
[公式]
16.曲率
曲線 [公式] 在點 [公式] 處的曲率 [公式] 。
對於引數方程 [公式] [公式] 。
17.曲率半徑
曲線在點 [公式] 處的曲率 [公式] 與曲線在點 [公式] 處的曲率半徑 [公式] 有如下關係： [公式] 。
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