梯度提公升決策樹（gbdt：gradientboostingdecisiontree）演算法是整合學習中boosting的一種。總體思路是利用每個弱學習器計算當前輸出與真實值的殘差，然後講每個學習器輸出的殘差進行累加，以求接近真實值。訓練過程可以用下面的公式來表示：
f m(
x)=f
m−1(
x)+t
m(x,
δm
)} \nolimits_ } \right) } =f\mathop } \nolimits_ } \right) } +t\mathop } \nolimits_ } } \nolimits_ } } \right) } }
fm(x)
=fm−
1(x
)+tm
(x,
δm)
其中，fm為前m個學習器的輸出結果，tm為當前m輪訓練的學習器（這裡的學習器為決策樹）。△為當前的殘差。
當迭代到一定程度，就可以訓練出完整的模型了，模型可表示為：
f (x
)=∑m
=1mt
m(x)
\right) } = \limits_ } ^ } } \nolimits_ } \right) } } } }
f(x)=m
=1∑m
tm
(x)那麼，如何訓練迭代到第m輪的學習器tm呢？
首先，定義損失函式為l。舉個最簡單的例子，如果用均方誤差（mse）作為損失函式，那麼對於每個樣本xi，損失li為：
l (x
i)=(
yi−f
m−1(
xi)−
tm(x
i))2
} \nolimits_ } } \right) } = } \nolimits_ } -f\mathop } \nolimits_ } } \nolimits_ } } \right) } -t\mathop } \nolimits_ } } \nolimits_ } } \right) } } \right) } \mathop } \nolimits^ } }
l(xi)
=(yi
−fm
−1(
xi)
−tm
(xi
))2yi是訓練集的真實值，fm-1我們已經在之前的訓練中得到。所以我們可以計算當前的殘差：
δ mi
=yi=
fm−1
(xi)
} \nolimits_ } =y\mathop } \nolimits_ } =f\mathop } \nolimits_ } } \nolimits_ } } \right) } }
δmi=y
i=f
m−1
(xi
)所以現在損失函式可以寫成：
l (x
i)=(
δmi−
tm(x
i))2
} \nolimits_ } } \right) } = } \nolimits_ } -t\mathop } \nolimits_ } } \nolimits_ } } \right) } } \right) } \mathop } \nolimits^ } }
l(xi)
=(δm
i−t
m(x
i))
2我們的目標當然是最小化損失函式，很顯然，△等於t(x)時損失函式取得最小值0。所以我們訓練當前學習器tm的期望輸出就可以是△。所以接下來用決策樹的訓練方法訓練輸入為x，輸出為△的資料集即可。
當然，大多數損失函式不會具有均方誤差（mse）這個特性，殘差△也不是很簡單的能求解出的，如果再加入正則項那就更為複雜。所以需要用到一些近似處理。
梯度提公升決策樹（GBDT）演算法
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