有關緊性的幾個定理
楊安洲 （北京工業大學）e-mail：< [email protected] >
摘要：文中給出乙個在代數學中的、乙個在分析數學中的、乙個在一階謂詞邏輯系統中的緊性定理 ，以及對它們的統一的回觀與評述 。
由定義在具有緊性的拓撲空間（例如實數序列空間的閉球）上的連續的實值函式的等式、不等式（不等號為
「大於或等於
」）所組成集（組），一階謂詞邏輯中公式集的模型與解 ，緊性的定理。
mr（2010）subject classification:1499 2010 3499 5725 5730 .
有(i)、（ii）、（iii）、（iv）共4節 ，現分述如下 ：
（i）對於代數學中的一些概念與定義（例如域、線性空間（向量空間）、多元多項式、等式與不等式的解等等）請見參考文獻[1]（或[2]、[3]）。對任一無限域（在域中有元素無限多個的域）上有這樣的緊性定理：由域上的多元多項式的等式所組成的任一集 ，它有唯一解的充要條件是它的任一有限子集的解集之交為單元集 。證明如下 ：必要性是顯然的 。充分性證明如下：對任一多元多項式的等式進行編號，記為m = ,用假設 ，對任一e（i
）= 0作出其解集來,然後作它們的交 ，即知m有唯一解 。（或： 對m 中任一有限子集都有解 ，對這些有限子集中的多元多項式任作線性形式（組合），這樣得到的所有的多元多項式（也就是前面一句話裡得到的）在通常的加法和數乘下組成乙個線性空間（向量空間）v，這個v有乙個生成集是s=，用選擇公理得v的乙個基（基底）b = ，對
b可得到定義在
v上的取值為零的零函式 ，也是定義在
b上的零函式 ， 而每乙個
e（i
）都是可用
b中 有限個
b(j)來線性表出
，這個零函式的定義域中所有的解集之交為單元集 ，這個集中的元素就是
m的唯一解 。）。對再特殊一點的，則有定理如下 ：若
m = ,則
m有解的充要條件是它的任一有限子集的解空間（是非零線性子空間）的交為非空 。其證明留給讀者。
（ii）對拓撲空間、緊空間、連續對映（函式）、緊集、滿足等式不等式之集的解等等概念和定義請參考文獻[4] (或[5]、[6]）。有乙個緊性定理如下：對具有緊性的拓撲空間上連續的實值函式的等式、不等式（不等號為「大於或等於」）之集有解的充要條件是它的任一有限子集有解。其證明如下：必要性是顯然的，再證充分性 。設m = ,指標集就是i和j之並集 ，m中的任一有限子集的解為非空閉集，m 的解集是它們的交集， 用拓撲空間的緊性知m的解集是非空的，m有解 。對它特殊一點的 ，則有定理如下 ： 設m = 或 把 前 面 的f（i，x1 ,x2 ,...,xn）換為實係數的多元多項式得到的仍記為m ，則有如下的緊性定理成立 ：m在 實數序列所組成的小愛兒平方（l平方空間，也有稱它為hilbert空間的—序列的hilbert空間的 ）的閉球上有解的充要條件是對m中的任一有限子集都有解 。
(iii)對一階謂詞邏輯系統而言 ，謂詞是指從定義域（或叫宇宙）d到 (或 )的函式 ，所有的這樣的函式叫謂詞變元，其定義域中的空位數叫做它的秩（是自然數或序數），定義域中的元素（值）叫個體常元，在定義域中取值的變元若要取到所有的元素時叫做個體的約束變元 ，個體變元不像個體約束變元那樣取值時叫做個體自由變元 ， 當謂詞變元的空位上填入個體常元、個體自由變元、還可有叫做項的東西之後，得到的叫原始公式（或原子公式），用 與、或、非以及量詞（存在量詞，全稱量詞）形成新的公式，這樣從謂詞變元集、原始公式集出發用與或非量詞作用得到的所有的公式所組成的一階謂詞邏輯系統記為l（1，1），在對謂詞變元、個體自由變元作對應，對應到相應的同秩的謂詞、定義域中的元素去。當對所有的謂詞變元與所有的個體自由變元作出對應之後，叫做給出了乙個解釋 。當對任一公式作這樣的乙個解 釋代入後就得到真、假兩個值中的乙個， 乙個解釋是對所有的原始公式和它的否定所作的對應、對應到1、0去的（當然要沒有矛盾的——即對任一原始公式g和「非g」在對應下不能對應到同乙個值去的對應是沒有矛盾的對應）。乙個解釋的代入是布林代數（把量詞運算看作無限項的合取、析取-交、並運算之後得到的公式）l（1，1）到 二個元素的布林代數的乙個同態對映 。對任一解釋i ，作它的殼（hull）h（i）= ,這樣就把l（1，1）分解為兩個類 ：乙個是h（i），另乙個是它的補類（或叫餘類）。乙個解釋i使公式g成為「真」（把i代入後g 的值是「真」），則稱i是g的乙個 模型 ，或稱i滿足g.若i使 得對公式集m中的每一公式都取值為「真」時 ，則稱i是m的乙個 模型 ，或稱i（可）滿足m。若對公式集m有 模型存在 ，則稱公式集有解（即對公式集m中的每一公式作等於「真」的等式（或稱方程）這個聯立方程組有解釋i滿足所有的方程）又稱m是協調的。殼（hull）與解釋是一一對應的，解釋由l（1，1）中所有的原始公式和它的否定所決定的,由取值為1的所有的原始公式所組成的集所決定的。殼（hull）是超濾（ultrafilter），極大的濾子（maximal filter），它是l（1，1）中的滿足性質（1）、（2）、（3）的子集h ，性質（1）——（3）是：性質（1）.h中的任一元素是可滿足的公式（也稱協調的）;性質（2）. m中的任一有限子集是可滿足的（也稱協調的）;性質（3）.對l（1，1）中 任一公式g和「非g 」 而言兩個中有且僅有乙個在m中.由任一解釋i的殼（hull）h（i）中的所有的原始公式組成的集決定了這個解釋。對於l（1，1）有如下的緊性定理成立：對l（1，1）中的任一公式集s = ,則s有模型（有解釋m滿足s ——即滿足s中的任一公式，也稱為s是協調的）的充要條件是s中的任一有限子集都有模型（都有解釋滿足）（任一有限子集是協調的）。也可以把它（前面的定理）簡單的說成為如下：s有 協調性的充要條件是s有 對它的任一有限子集都有協調性 。在證明前，先給出一些定義和概念 ，公式集s可推出（語義地可推出）公式g的定義是：對任一滿足s的解釋也都能滿足g的話 ；s是矛盾的定義為s同時能推出乙個公式與它的「否定」；s是不矛盾的當且僅當s 是可滿足的（協調的）。現在對它進行證明如下：必要性是顯然的.現再證充分性 ，對l（1，1）中的子集s而言 ，考慮l（1，1）中的包含有s的滿足上面性質（1）、（2）的子集族的所形成的任一鏈（在集的包含關係作為序關係下），對它作並，即知（它）鏈有上界 ，用zorn 引理（或選擇公理）即知有滿足上面所說的性質（1）——（2）的 極大集存在並且記為h，這個h具有性質：對任一公式g和「非g」而言 ，兩個中有乙個且僅有乙個在h中 。若對某個公式g而言 ，g和「非g 」都不在h中，則把g 放到h中後 ，因h是極大的 ，h與作並後對到的集就不滿足性質（1）——（2）了 ，在這個集中存在有有限子集t是矛盾的（不可滿足的——不協調的），且在t中有g（若t 是h 中的有限子集，則h不滿足性質（1）、（2）了 ，得到了矛盾 ），把t表成t = p1與 之 並集 ，而p1中沒有g 了,因t是矛盾的，得到p1可推出「非g」,同理也可得到在h中存在有有限子集p2 ，而p2 可推出g ,兩點合起來得到在h中有有限子集「p1和p2之並集」可推出g與「非g」 ，得到了矛盾，所以至少有乙個在h中了 ，兩個都在h中是不可能的 （都在h中則違反了h是滿足性質（2）了的！）。由此可從h中所有的原始公式作出解釋i ,把它對應到相應的謂詞在個體自由變元適當的取值下為1的謂詞去，在這樣的解釋作為同態對映下，它的殼包含有s，這個解釋也成為s的乙個模型 。（證完了）。
（注：雖然在有的文獻（例如[7]、[8]、[9]）中也有這樣類似的定理，但是在這裡給出的要廣泛（ 可有秩為無窮的（無限的））一些 ，而且這裡的證明可看到解釋、同態對映的殼（hull）的作用）。若對公式作它等於「真」（「1」）的等式（方程），聯立方程組e（i），i在i中，即s = 有解（有模型）的充要條件是它的任一有限子集有解（任一有限子集有模型）。
(iv).在任一定義的某一類問題(例如在數學中各種方程類、邏輯中的各種公式類以及別的科技領域中的各種問題類)中有問題有解無解有多少個解，有限個問題之集、無限個問題之集有解無解有多少個解， 問題集中解之間的關係如何？問題集的解之間 的聯絡和關係如何 ？， 等等 。 其中就有乙個緊性的問題：問題集s 有解的充要條件是否是 對s中的任一有限子集有解 。對問題的解的研究將使人們對於問題有更好的認識 。
[1].b.l.van der waerden,modern algebra ,new york ,1953 .
[2]. s.lang ,algebra , massachusetts ,1965 .
[3]. n.jacobson ,basic algebra ,california ,1974 ,1980 .
[4].j.kelley ,general topology , newjersey ,1955 .
[5].e. landau ,foundations of analysis,new york ,1951 .
[6].p.r.halmos ,a hilbet space problem book ,1967 .
[7]. f.hausdorff ,set theory , newyork , chelsea ,1957 .
[8].j.d.monk ,mathemat純ical logic,new york ,1976 .
[9]. j.l.bell and m.machover ,a course in mathematical logic,new york ,1977 .
作者介紹：
楊安洲 （1938- ），北京工業大學純粹數學教授，2023年退休 ，之後在家仍學習數學與數理邏輯學 。
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