1. icp演算法的一些網路資源
2. 經典icp演算法的步驟
3. fast icp演算法
icp（iterative closest points）演算法是點集配準的經典演算法，演算法基本原理是在a method for registration of 3-d shapes文章中提出。後人也在此基礎上不斷和補充icp演算法。
1. 下面是介紹icp演算法的一些網路資源：
icp演算法基本介紹：
經典icp算**文：
演算法的一些實現總結：
2. 經典icp演算法介紹。
icp演算法有較多的數學公式和概念，數學公式總歸看起來費勁，這裡只簡要的理解下其演算法步驟：
兩個點集p1，p2，每一步迭代，都朝著距離最小的目標進行。
a. 篩選點對：由p1中的點，在p2中搜尋出其最近的點，組成乙個點對；找出兩個點集中所有的點對。點對集合相當於進行有效計算的兩個新點集。
b. 根據點集對，即兩個新點集，計算兩個重心。
c. 由新點集，計算出下一步計算的旋轉矩陣r，和平移矩陣t(其實**於重心的差異)。
d. 得到旋轉矩陣和平移矩陣rt，就可以計算點集p2進行剛體變換之後的新點集p2`，由計算p2到p2`的距離平方和，以連續兩次距離平方和之差絕對值，作為是否收斂的依據。若小於閾值，就收斂，停止迭代。
e. 重複a-e，直到收斂或達到既定的迭代次數。
--其中，計算旋轉矩陣r時，需要矩陣方面的運算。
由新的點集，每個點到重心的距離關係，計算正定矩陣n，並計算n的最大特徵值及其最大特徵向量；其特徵向量等價於旋轉的四元數（且是殘差和最小的旋轉四元數），將四元數就可以轉換為旋轉矩陣。
數學概念：
四元數：
正定矩陣：特徵值都大於0的矩陣。
這些是矩陣理論，最優化原理方面的一些概念。
3. fast icp解析：
fast icp是對icp的改進與擴充套件。**efficient variants of the icpalgorithm詳細給出了影響icp演算法的各種因素，且每種因素都哪些演算法，其結果與效能如何。
fast icp根據這些因素將icp演算法分為6個步驟：
a. 篩選：點集或曲面的篩選（濾波）
b. 匹配：兩個點集之間的點進行配對
c. 權重：給每個匹配的點對分配權重
d. 去除：去除不符合條件的點對
e. 誤差度量：基於以上點對，給出每個點對的誤差計算方法
f. 最小化：最小化誤差度量
為測試以上階段中不同演算法的效能和結果，**提供了三個測試場景，並在這些點集（曲面）上加上雜訊：
比較平滑的波紋： 比較簡單的場景，幾何尺度變換不是很大
較複雜的不規則的草原地形： 相對複雜的，包含不同尺度的細節
僅含有突出乙個十字形雕刻面的平面： 對匹配而言，最困難的場景，因為特徵太少
下面是每個階段的演算法的比較：
a. 篩選：點集或曲面的篩選（濾波）
篩選也有以下幾種策略：
* 應用點集內所有可用的點： 無疑是效能最差的方法
* 採用均勻分布的方式篩選（或是距離等間隔篩選）
* 隨機篩選法
* 根據點的密度，顏色來篩選
* 對乙個點集進行篩選，或者兩個點集都進行篩選：對於一般的點集，兩種方法收斂率和結果基本相同，但僅對乙個點集篩選的演算法，資料運算量相對比較大。
* 另外乙個篩選策略是依據向量的分布情況： 篩選哪些能使點的向量的分布盡量大的點，這樣的目的是突出 特徵很少的 點集的特徵 （如十字雕刻面）
如下圖 a 隨機採用法， 圖b是向量空間分布法 的示意圖。 由圖可以明顯看出，空間向量分布法對點集的較少的特徵有著比較好的提取能力。
fast icp暫不考慮乙個點的密度顏色資訊。 對均勻分布法、隨機法、向量空間分布法比較。
對水波等簡單場景下：其收斂速度和收斂效果都差別不大。但對於特徵點較少的場景，向量空間分布法的收斂速度和結果很好，而對於另外兩種方法，基本不能收斂。如下：
b. 匹配：兩個點集之間的點進行配對
匹配的策略有以下幾種：
* 最鄰近點法：此方法還可以應用k-d樹或最鄰近點快取進行加速
* normal shooting：點集p1中取一點，沿其點法向量，到點集p2（曲面的）的交點，形成乙個點對
* 投影法：將源點集p1投影到目的點集p2上，沿著p2的相機的視角方向，又稱「reverse calibration」，搜尋度量方法包括點對點距離，點對線距離，密度，顏色等。
* 基於向量間角度或顏色的相容度量方法（compatibility metric）
fast icp中不考慮顏色，密度資訊。
這裡先給出投影法（b）與最近鄰法（b）的示意圖：
從圖上看，可以看出最鄰近點法容易受到雜訊的干擾，而投影法不受雜訊的干擾。
比較normal shooting、最鄰近點法和投影法三種方法：
在雕刻十字面的場景下：
雖然最鄰近點法容易受到雜訊干擾，但對於特徵比較少的場景下，最鄰近點（相容）法是唯一能完全收斂的方法。效果最好。對於投影法，收斂很快，但是效果不是很好。normal shooting法在這兩方面都表現平平。
對於複雜的草原場景，幾種方法的收斂結果最終都基本相同，但其收斂速度和計算速度卻有很大的差別：
從上圖來看，投影法的計算速度非常快，這是因為不僅投影法的收斂速度快，而且其演算法複雜度為o(1),而其他的演算法複雜度為o(logn)。
c. 權重：給每個匹配的點對分配權重
權重分配的策略有以下幾種：
* 均勻分配，即常數加權。
* 根據點對距離加權，點對間距大，權重就小，反之，權重就大。
* 根據向量的一致性（compability）進行加權，weight = n1 * n2
* 不確定性
這幾種方法的收斂速度和效果都差別大。總體上來講，向量一致（相容）的方法 適應性和速度比其他方法好點。
d. 去除：去除不符合條件的點對
這個階段的策略包括
* 固定閾值法：當間距大於乙個值時，就去除這個點對
* 固定比例法：每次迭代，去除最差的%n的點對
* 標準差法：將閾值設定為所有點對間距的標準差*2.5
* 去除曲面邊界的點對，如下圖，曲面邊界點的點對是不合理的，在兩個點集做部分匹配的時候。
這幾種方法的收斂速度差別不大，而且收斂效果也差別不大。但是去除outlier點對這個步驟 對收斂結果 的作用還是明顯的。
e. 誤差度量和最小化：基於以上點對，給出每個點對的誤差計算方法
誤差度量的策略：
* 點對的距離平方和
* 點到面的距離平方和
* 點到點和點到面的外推法
比較其收斂速率和效果，點到面和點到面外推法的度量方式效果更好。
fast icp分析了不同階段裡，各種因素或策略對演算法效能和結果的影響。應可以根據不同的需求，來選取不同的演算法對點集或曲面進行配準。
在演算法效果差別不大的情況下，盡量選擇簡單的演算法，來提高執行速度，如隨機取樣，常數加權，固定閾值等。
fast icp在網上有開源的**，研究一下對此演算法會有更深的理解。
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