第四章 字串和多維陣列
4.1 字串
4.1.1 字串的定義
★字串的定義
串：零個或多個字元組成的有限序列。
串長度：串中所包含的字元個數。
空串：長度為0的串，記為：" "。
非空串通常記為： s=" s1 s2 …… sn "
其中：s是串名，雙引號是定界符，雙引號引起來的部分是串值 ，si（1≤i≤n）是乙個任意字元。
子串：串中任意個連續的字元組成的子串行。
主串：包含子串的串。
子串的位置：子串的第乙個字元在主串中的序號。
例：求" world"的子串。
共16個：" "；
" world"，
" worl"，" orld"；
" wor"，"orl "，" rld"；
" wo"，" or"，" rl"，"ld "；
" w"，" o"，"r "，"l "，" d"。
串的比較：通過組成串的字元之間的比較來進行的。
給定兩個串：x="x1x2…xn"和y=「y1y2…ym」，則：
當n=m且x1=y1，…，xn=ym時，稱x=y；
當下列條件之一成立時，稱x＜y：
⑴ n＜m且xi=yi（1≤ i≤n）；
⑵存在k≤min(m,n)，使得xi=yi(1≤i≤k-1)且xk＜yk。
（按字典比較）
4.1.2 字串的儲存結構
表示串的長度：
方案1：用乙個變數來表示串的實際長度。
方案2：在串尾儲存乙個不會在串中出現的特殊字元作為串的終結符，表示串的結尾。
方案3：用陣列的0號單元存放串的長度，從1號單元開始存放串值。
4.1.3 模式匹配
■模式匹配：
給定主串s="s1s2…sn"和模式t=「t1t2…tm」，在s中尋找t 的過程稱為模式匹配。如果匹配成功，返回t 在s中的位置；如果匹配失敗，返回0。
■樸素的模式匹配演算法：
基本思想：從主串s的第乙個字元開始和模式t 的第乙個字元進行比較，若相等，則繼續比較兩者的後續字元；否則，從主串s的第二個字元開始和模式t 的第乙個字元進行比較，重複上述過程，直到t 中的字元全部比較完畢，則說明本趟匹配成功；或s中字元全部比較完，則說明匹配失敗。
偽**：
在串s和串t中設比較的起始下標i和j；
迴圈直到s或t的所有字元均比較完
2.1 如果s[i]=t[j]，繼續比較s和t的下乙個字元；
2.2 否則，將i和j回溯，準備下一趟比較；
如果t中所有字元均比較完，則匹配成功，返回匹配的起始比較下標；否則，匹配失敗，返回0；
樸素的模式匹配演算法bf：
int bf(char s[ ], char t[ ])
i=0; j=0;
while (s[i]!='\0'&&t[j]!='\0')
else
} if (t[j]=='\0') return (i-j+1);
else return 0;
（1）最好情況：不成功的匹配都發生在串t的第1個字元。
設匹配成功發生在si處，則在i-1趟不成功的匹配中共比較了i-1次，第i趟成功的匹配共比較了m次，所以總共比較了i-1+m次，所有匹配成功的可能情況共有n-m+1種，則：（即共比較了i趟，前i-1趟均只比較了1次，而第i趟比較了m次）。所以，最好情況下的時間複雜度為：o(n+m).
（2）最壞情況：不成功的匹配發生在串t的最後乙個字元。
設匹配成功發生在si處，則在i-1趟不成功的匹配中共比較了(i-1)×m次，第i趟成功的匹配共比較了m次，所以總共比較了i×m次。所以，最壞情況下的時間複雜度為o(n*m).
■kmp演算法：
基本思想：主串不進行回溯
結論： i可以不回溯，模式向右滑動到的新比較起點k ，並且k 僅與模式串t有關！
抓住部分匹配時的兩個特徵：設模式滑動到第 k 個字元
（1）則t[0]~t[k-1] = s[i-k]~s[i-1]
（2）則t[j-k]~t[j-1] = s[i-k]~s[i-1]
兩式聯立可得：t[0]~t[k-1] = t[j-k]~t[j-1]
計算next[j]（t[i]對應的k值，0<=j<=m）的方法：
（1）當j=0時，next[j]=-1；
next[j]=-1表示不進行字元比較
（2）當j>0時，next[j]的值為：模式串的位置從0到j-1構成的串中所出現的首尾相同的子串的最大長度。
（3）當無首尾相同的子串時next[j]的值為0。
next[j]=0表示從模式串頭部開始進行字元比較
kmp演算法的偽**描述：
在串s和串t中分別設比較的起始下標i和j；
迴圈直到s或t的所有字元均比較完
2.1 如果s[i]=t[j]，繼續比較s和t的下乙個字元；否則
2.2 將j向右滑動到next[j]位置，即j=next[j]；
2.3 如果j=-1，則將i和j分別加1，準備下一趟比較；
如果t中所有字元均比較完畢，則返回匹配的起始下標；否則返回0；
4.2 多維陣列
4.2.1 陣列的定義
▲陣列是由一組型別相同的資料元素構成的有序集合，每個資料元素稱為乙個陣列元素（簡稱為元素），每個元素受n(n≥1)個線性關係的約束，每個元素在n個線性關係中的序號i1、i2、…、in稱為該元素的下標，並稱該陣列為 n 維陣列。
▲陣列的特點：
（1）元素本身可以具有某種結構，屬於同一資料型別；
（2）陣列是乙個具有固定格式和數量的資料集合。
▲例：元素a22受兩個線性關係的約束，在行上有乙個行前驅a21和乙個行後繼a23，在列上有乙個列前驅a12和和乙個列後繼a32。
二維陣列是資料元素為線性表的線性表。
▲陣列的基本操作：
⑴ 讀操作：給定一組下標，讀出對應的陣列元素；
⑵ 寫操作：給定一組下標，儲存或修改與其相對應的陣列元素。
這兩種操作本質上只對應一種操作——定址，即根據一組下標定位相應的陣列元素。
4.2.2 陣列的儲存結構與定址
●二維陣列常用的對映方法有兩種：
按行優先：先行後列，先儲存行號較小的元素，行號相同者先儲存列號較小的元素。
按列優先：先列後行，先儲存列號較小的元素，列號相同者先儲存行號較小的元素。
按行優先aij在一維陣列中的下標為：（i-1）*n+(j-1)。
4.3 矩陣的壓縮儲存
特殊矩陣：矩陣中很多值相同的元素並且它們的分布有一定的規律。
稀疏矩陣：矩陣中有很多零元素。
壓縮儲存的基本思想是：
⑴ 為多個值相同的元素只分配乙個儲存空間；
⑵ 對零元素不分配儲存空間。
4.3.1 對稱矩陣的壓縮儲存
◆對稱矩陣的特點：
在乙個n階方陣中，有aij=aji(1<=i,j<=n)。
◆對於下三角中的元素aij（i≥j），在陣列sa中的下標k與i、j的關係為：k＝i×(i-1)/2＋j -1。
上三角中的元素aij（i＜j），因為aij=aji，則訪問和它對應的元素aji即可，即：k＝j×(j-1)/2＋i -1 。
4.3.2 三角矩陣的壓縮儲存
只儲存上三角（或下三角）部分的元素。
◆下三角矩陣中任一元素aij在陣列sa中的下標k與i、j的關係為：當i>=j時，k=i×(i-1)/2＋j -1;當i◆上三角矩陣中任一元素aij在陣列sa中的下標k與i、j的關係為：當i>=j時，k=(2n-i+2)×(i-1)/2＋j -i;當i4.3.3 對角矩陣的壓縮儲存
◆對角矩陣：所有非零元素都集中在以主對角線為中心的帶狀區域中，除了主對角線和它的上下方若干條對角線的元素外，所有其他元素都為零。
◆對於乙個m*n的w對角矩陣（w是占有非0元素的對角線的個數，也稱頻寬），壓縮方法有：
（1）將其壓縮到乙個m行w列的二維陣列b中
（2）將對角矩陣壓縮儲存到一維陣列c中，按行儲存其非0元素。
4.3.4 稀疏矩陣的壓縮儲存
◆稀疏矩陣中的非零元素的分布沒有規律。
◆將稀疏矩陣中的每個非零元素表示為：
(行號，列號，非零元素值)——三元組
◆定義三元組：
emplate
struct element
int row, col; //行號，列號
datatype item //非零元素值
（1）三元組順序表
其儲存結構定義：
const int maxterm=100;
template struct sparsematrix
;
採用鏈結儲存結構儲存三元組表，每個非零元素對應的三元組儲存為乙個鍊錶結點。
row：儲存非零元素的行號；
col：儲存非零元素的列號；
item：儲存非零元素的值；
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