演算法 字串消除問題的數學證明

2021-09-02 09:03:34 字數 4035 閱讀 5444

問題:

給定乙個字串,僅由a、b、c3個字母組成。當出現連續兩個不同的字母時,你可以用另外乙個字母替換它,如有ab或ba連續出現,你把它們替換為字母c;有ac或ca連續出現時,你可以把它們替換為字母b;有bc或cb連續出現時,你可以把它們替換為字母a。可以不斷反覆按照這個規則進行替換,目標是使得最終結果所得到的字串盡可能短,求最終結果的最短長度。

輸入:字串。長度不超過200,僅由abc3個字母組成。 輸出:按照上述規則不斷消除替換,所得到的字串最短的長度。

例如:輸入cab,輸出2。因為我們可以把它變為bb或者變為cc。

輸入bcab,輸出1。我們可以把它變為aab到ac到b,也可以把它變為bbb,但因為前者長度更短,所以輸出1。

先給出幾個概念

純字串:只含有一種字母的字串稱為純字串,例如aaa就是乙個純字串

混字串:含有至少兩種字母的字串稱為混字串,例如abc就是乙個混字串

最優長度:字串通過消除的最終結果的最短長度,稱為該字串的最優長度。上面的示例中,cab的最優長度為2,bcab的最優長度為1

最優串:字串通過消除達到最優長度時的字串稱為最優串,最優串可能不止乙個。如cab的最優串為bb和cc,而bcab的最優串為b。最優串一定是純字串

統計向量:用(x,y,z)表示字串的統計向量,其中x、y、z分別表示字串中字母a、b、c的個數。上面的示例中,cab的統計向量為(1,1,1),bcab的統計向量為(1,2,1)

統計特徵向量:用(x,y,z)表示字串的統計特徵向量,其中x、y、z分別表示字串中字母a、b、c的個數的奇偶性,用「奇」、「偶」表示。cab的統計特徵向量為(奇,奇,奇),bcab的統計特徵向量為(奇,偶,奇)

再給出幾個推論

推論1:純字串的最優長度就是純字串的長度。

很明顯的,只有乙個字母,沒法消除,所以最優長度就是純字串的長度

推論2:在純字串前或後加另乙個字母得到新的混字串,則新混字串的最優長度為1

例如:bbbbbbba。則消除的過程是,bbbbbbba >> bbbbbbc >> bbbbba >> bbbbc >> bbba >> bbc >> ba >> c

其他的類似,不再贅述

推論3:若純字串的長度為偶數,則在前或後新增另乙個字母得到新的混字串,則新混字串的最優串為新增的字母;若純字串的長度為奇數,則新混字串的最優串為剩下的乙個字母

假設純字串為bb,新增字母a,則新混字串為bba,bba >> bc >> a

假設純字串為bbbb,新增字母a,則新混字串為bbbba,bbbba >> bba >> a

以此類推,推論3的前半部得證

假設純字串為b,新增字母a,則新混字串為ba,ba >> c

假設純字串為bbb,新增字母a,則新混字串為bbba,bbba >> ba >> c

以此類推,推論3的後半部得證

推論4:混字串的最優長度不超過2(為1或2)

證明:首先混字串通過不停的消除,最終能得到乙個純字串(因為若還有不同的字母,則必相鄰,則還能繼續消除)。

若該純字串的長度為1或2,則證明了該推論(不過,就算純字串長度為2,還沒證明最優長度一定是2,可以肯定的是最優長度不超過2,即1或2都有可能)

若該純字串的長度大於2,不失一般性,假設該純字串的長度為k(k>2),該純字串都由字母b組成(字母a、c是一樣的),該純字串是通過n(n≥1)步消除得到的

那麼回退一步,第n-1步消除得到的混字串為b……bacb……b,其中a前面有k1個b,c後面有k2個b,k1+k2=k-1。(也有可能是b……bcab……b,和b……bacb……b是一致的,不再贅述了)

那麼,根據k1和k2的取值不同,可以優化出不同的消除

k1是奇數,k2是奇數。利用推論3,可知b……ba >> c;cb……b >> a;b……bacb……b >> ca >> b,最優串是b,最優長度為1

k1是奇數,k2是偶數。利用推論3,可知b……ba >> c;cb……b >> c;b……bacb……b >> cc,則最優長度不超過2(因為還沒法證明最優長度不會是1)

k1是偶數,k2是奇數。利用推論3,可知b……ba >> a;cb……b >> a;b……bacb……b >> aa,則最優長度不超過2(因為還沒法證明最優長度不會是1)

k1是偶數,k2是偶數。利用推論3,可知b……ba >> a;cb……b >> c;b……bacb……b >> ac >> b,最優串是b,最優長度為1

綜上所述,混字串的最優長度不超過2

推論5:統計特徵向量為(奇,奇,奇)或(偶,偶,偶)的混字串的最優長度為2;其餘的混字串的最優長度為1

證明:考察一下,每次消除,統計特徵向量的變化過程

假設字串的統計特徵向量為(奇,奇,奇)

假設消除是ac(或ca) >> b,則a和c的個數減1,而b的個數增加1,則統計特徵向量變為(偶,偶,偶)

假設消除是ab(或ba) >> c,則a和b的個數減1,而c的個數增加1,則統計特徵向量變為(偶,偶,偶)

假設消除是bc(或cb) >> a,則b和c的個數減1,而a的個數增加1,則統計特徵向量變為(偶,偶,偶)

綜上所述,統計特徵向量為(奇,奇,奇)的混字串,經過1次消除後,統計特徵向量變為(偶,偶,偶)

同理可證,統計特徵向量為(偶,偶,偶)的混字串,經過1次消除後,統計特徵向量變為(奇,奇,奇)

由此可知,反覆消除後,統計特徵向量為(奇,奇,奇)的混字串的最優串的統計特徵向量是(偶,偶,偶)。(因為最優串是純字串,只能有1種字元,所以最優串不可能是(奇,奇,奇))

同理可證,統計特徵向量為(偶,偶,偶)的混字串的最優串的統計特徵向量也是(偶,偶,偶)。

因此,統計特徵向量為(奇,奇,奇)或(偶,偶,偶)的混字串的最優串的統計特徵向量為(偶,偶,偶)

假設字串的統計特徵向量為(奇,偶,偶)

假設消除是ac(或ca) >> b,則a和c的個數減1,而b的個數增加1,則統計特徵向量變為(偶,奇,奇)

假設消除是ab(或ba) >> c,則a和b的個數減1,而c的個數增加1,則統計特徵向量變為(偶,奇,奇)

假設消除是bc(或cb) >> a,則b和c的個數減1,而a的個數增加1,則統計特徵向量變為(偶,奇,奇)

綜上所述,統計特徵向量為(奇,偶,偶)的混字串,經過1次消除後,統計特徵向量變為(偶,奇,奇)

同理可證,統計特徵向量為(偶,奇,奇)的混字串,經過1次消除後,統計特徵向量變為(奇,偶,偶)

由此可知,反覆消除後,統計特徵向量為(奇,偶,偶)的混字串的最優串的統計特徵向量是(奇,偶,偶)。(因為最優串是純字串,只能有1種字元,所以最優串不可能是(偶,奇,奇))

同理可證,統計特徵向量為(偶,奇,奇)的混字串的最優串的統計特徵向量也是(奇,偶,偶)。

因此,統計特徵向量為(奇,偶,偶)或(偶,奇,奇)的混字串的最優串的統計特徵向量為(奇,偶,偶)

同理可證

統計特徵向量為(偶,奇,偶)或(奇,偶,奇)的混字串的最優串的統計特徵向量為(偶,奇,偶)

統計特徵向量為(偶,偶,奇)或(奇,奇,偶)的混字串的最優串的統計特徵向量為(偶,偶,奇)

由推論4可知,混字串的最優長度不超過2

如果,混字串的最優長度為1,則最優串是a,統計特徵向量是(奇,偶,偶);是b,統計特徵向量是(偶,奇,偶);是c,統計特徵向量是(偶,偶,奇)

如果,混字串的最優長度為2,則最優串是aa或bb或cc,統計特徵向量是(偶,偶,偶)

所以,統計特徵向量為(奇,奇,奇)或(偶,偶,偶)的混字串的最優長度是2。

統計特徵向量為(奇,偶,偶)或(偶,奇,奇)的混字串的最優長度為1,最優串是a

統計特徵向量為(偶,奇,偶)或(奇,偶,奇)的混字串的最優長度為1,最優串是b

統計特徵向量為(偶,偶,奇)或(奇,奇,偶)的混字串的最優長度為1,最優串是c

證明完畢

結論:1、純字串的最優串就是自身,最優長度就是自身的長度

2、統計特徵向量為(奇,奇,奇)或(偶,偶,偶)的混字串的最優長度為2

3、其餘的混字串的最優長度是1,其中統計特徵向量為(奇,偶,偶)或(偶,奇,奇)的混字串的最優串是a;統計特徵向量為(偶,奇,偶)或(奇,偶,奇)的混字串的最優串是b;統計特徵向量為(偶,偶,奇)或(奇,奇,偶)的混字串的最優串是c

演算法 字串消除問題的數學證明

問題 給定乙個字串,僅由a b c3個字母組成。當出現連續兩個不同的字母時,你可以用另外乙個字母替換它,如有ab或ba連續出現,你把它們替換為字母c 有ac或ca連續出現時,你可以把它們替換為字母b 有bc或cb連續出現時,你可以把它們替換為字母a。可以不斷反覆按照這個規則進行替換,目標是使得最終結...

字串消除

給定乙個字串,僅由a,b,c 3種小寫字母組成。當出現連續兩個不同的字母時,你可以用另外乙個字母替換它,如 有ab或ba連續出現,你把它們替換為字母c 有ac或ca連續出現時,你可以把它們替換為字母b 有bc或cb 連續出現時,你可以把它們替換為字母a。你可以不斷反覆按照這個規則進行替換,你的目標是...

字串消除

題目詳情 給定乙個字串,僅由a,b,c 3種小寫字母組成。當出現連續兩個不同的字母時,你可以用另外乙個字母替換它,如 有ab或ba連續出現,你把它們替換為字母c 有ac或ca連續出現時,你可以把它們替換為字母b 有bc或cb 連續出現時,你可以把它們替換為字母a。你可以不斷反覆按照這個規則進行替換,...